95 Билет: Правило Лопиталя.
Правило
Лопиталя
представляет собой метод вычисления
пределов, имеющих неопределенность
типа
или
.
Пусть a
является некоторым конечным действительным
числом или равно бесконечности.
Если
и
,
то
;
Если
и
,
то аналогично
.
Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа
.
Первые две неопределенности
можно
свести к типу
или
с
помощью алгебраических преобразований.
А неопределенности
сводятся
к типу
с
помощью соотношения
Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.
Пример 1 |
|
Вычислить
предел
Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:
|
Пример 2 |
|
Вычислить
предел
Решение. Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.
Билет №99. Определение и свойства неопределенного интеграла. Условия существования неопределенного интеграла. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная. Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
Достаточное условие существования неопределённых интегралов Если функция f(x) непрерывна при x [a; b], то для неё существует первообразная и неопределённый интеграл на промежутке [a; b]. Билет №100. Правила интегрирования. Таблица основных первообразных. Основные правила интегрирования. 1.
Вынесение функции из-под знака
дифференциала.
Таблица первообразных
|
.
.
Пример:
2.
Внесение функции под знак дифференциала.
,
где
,
т.е. является первообразной
.
Пример:
[
Найдем первообразную функции
]
Итог:
3.
Множитель-константу можно выносить
за знак дифференциала и вносить под
него (частный случай первого и второго
правил).
Пример:
.
4.
Под знаком дифференциала можно
прибавлять или отнимать любую константу
(частный случай второго правила).
Пример:
Билет№101. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование. Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям. Циклические интегралы.
Метод непосредственного интегрирования. Осуществляется с использованием свойств интеграла и сведением интеграла к табличному. Примеры:
1) ∫(5cos(x)+2−3x2+x1−4x2+1)dx=5∫cos(x)dx+2∫dx−3∫x2dx+∫xdx−4∫dxx2+1= =5sin(x)+2x−x3+ln∣x∣−4arctg(x)+C. 2) ∫tg2(x)dx=∫sin2(x)cos2(x)dx=∫cos2(x)1−cos2(x)dx=∫1cos2(x)dx−∫dx=tg(x)−x+C
Метод интегрирования по частям. Теорема: Пусть функции U(x) и V(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция U(x)V′(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на множестве X функция U′(x)V(x) также имеет первообразную, при этом справедлива формула
∫U′(x)V(x)=U(x)V(x)−∫U(x)V′(x)
Доказательство: Пусть U(x) и V(x) имеют непрерывные производные U′(x) и V′(x) . Тогда, по правилу дифференцирования произведения, (UV)′=U′V+V′U или U′V=(UV)′−V′U . Для выражения (UV)′ первообразной, очевидно, будет UV; поэтому имеет место формула
∫U′(x)V(x)=U(x)V(x)−∫U(x)V′(x)
Ч. и т.д. U′(x)dx=dU,V′(x)dx=dV⇒ (1) принимает вид ∫VdU=UV−∫UdV .