Третий закон Кеплера (гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей (наибольший радиус эллипса, идёт от центра, через фокус, и на край эллипса) планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.
,
где
и
— периоды обращения двух планет вокруг
Солнца, а
и
— длины больших полуосей их орбит.
Ньютон
установил, что
гравитационное
притяжение
планеты определенной массы зависит
только от расстояния до неё, а не от
других свойств, таких, как состав или
температура. Он показал также, что
третий закон Кеплера не совсем точен
— в действительности в него входит и
масса планеты:
,
где
— масса Солнца, а
и
— массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
3. Вынужденные колебания. Резонанс.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее
простой и содержательный пример
вынужденных колебаний можно получить
из рассмотрения
гармонического
осциллятора
и вынуждающей силы, которая изменяется
по закону:
Консервативный гармонический осциллятор
Второй
закон Ньютона
для такого осциллятора запишется в
виде:
.
Если ввести обозначения:
и заменить
ускорение
на вторую
производную
от координаты по времени, то получим
следующее
обыкновенное
дифференциальное уравнение:
Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:
,
где
— произвольные постоянные, которые
определяются из начальных условий.
Найдём
частное решение. Для этого подставим
в уравнение решение вида:
и получим значение для константы:
Тогда окончательное решение запишется в виде:
Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания
Резонанс
Из
решения видно, что при частоте вынуждающей
силы, равной частоте свободных колебаний,
оно не пригодно — возникает
резонанс,
то есть «неограниченный» линейный рост
амплитуды со временем. Из курса
математического
анализа
известно, что решение в этом случае
надо искать в виде:
.
Подставим этот
анзац
в
дифференциальное
уравнение
и получим, что :
Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:
Резона́нс
(фр.
resonance,
от
лат.
resono
— откликаюсь) — явление резкого
возрастания
амплитуды
вынужденных колебаний, которое наступает
при приближении
частоты
внешнего воздействия к некоторым
значениям (резонансным частотам),
определяемым свойствами системы.
Увеличение амплитуды — это лишь
следствие
резонанса, а причина
— совпадение внешней (возбуждающей)
частоты с внутренней (собственной)
частотой колебательной системы. При
помощи явления резонанса можно выделить
и/или усилить даже весьма слабые
периодические колебания. Резонанс —
явление, заключающееся в том, что при
некоторой частоте вынуждающей силы
колебательная система оказывается
особенно отзывчивой на действие этой
силы. Степень отзывчивости в теории
колебаний описывается величиной,
называемой
добротность.
Явление резонанса впервые было описано
Галилео
Галилеем
в 1602 г в работах, посвященных исследованию
маятников
и
музыкальных
струн.