Частичные пределы. Верхний и нижний пределы последовательности
xn = x1,x2,...,xn
n1 < n2 < … < nk < ...
xnk = xn1,xn2,...,xnk
xnk → a (k → ∞)
Последовательность сходится к а, если вне некоторой окрестности находится лишь конечное количество элементов.
n = αβγ..ω ==> xn = 0,αβγ..ω
n = 15, 150, 1500
x15 = 0,15
x150 = 0,15
x1500 = 0,15
xnk ϵ [0,1 ; 1] – частичные пределы заполняют всё от 0,1 до 1.
Теорема Вейерштрасса:
Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
A ≤ xn ≤ b ∀ n
[a,b] = p0
p1 < p0
p0 > p1 > p2 > …
Пусть xn1 ϵ p1
xn2 ϵ p2, n2 > n1
xn3 ϵ p3, n3 > n2
…
xnk ϵ pk, nk > nk–1
a ≤ xnk ≤ bk
ak → c
bk → c
==> xnk → c
Всякая ограниченная последовательность имеет предел.
Если xn – неограниченая, то существует подпоследовательность xnk, имеющая бесконечный предел.
∀ A ∃ KA : k > KA ==> yk > A
(∀ KA > A xnk k > KA xnk > k > KA > A)
Доказательство:
Пусть xn не имеет верхней границы. Рассмотрим подпоследовательность xn1. Среди элементов xn1+1, xn1+2 найдётся хотя бы один элемент, больший 1:
1. xn1 > 1.
Такая же ситуация для числа 2 и подпоследовательности xn2.
2. xn2 > 2, n2 > n1.
Тогда на k-ом шаге будет
k. xnk > k, nk > nk-1.
Этот набор чисел образует последовательность, так как каждый следующий элемент больше предыдущего. Эта последователность неограничена, потому стремится к +бесконечности.
xn → +∞.
Если последовательность неограничена ни сверху, ни снизу, то существует подпоследовательность, имеющая бесконечный предел.
Если последовательность ограничена, то существует подпоследовательность, имеющая конечный предел.
В любой последовательности xn существует подпоследовательность, имеющая предел. Он называется частичным пределом последовательсти xn.
xn = (-1)n
xnk = x2k = (-1)2k = 1
xnk = x2k+1= (-1)2k+1 = -1.
Такая последовательность имеет частичный предел в каждой точке:
Q = {xn}, a ϵ R.
a – 1 < xn1 < a + 1
a – ½ < xn2 < a + ½
a – 1/3 < xn3 < a + 1/3
…
a – 1/k < xnk < a + 1/k
a = infm(supm≥n xn) = limm→∞ am
I. Неравенство xn ≥ a + ℰ выполняется для конечного множества номеров n.
a + ℰ > a, a+ℰ – не нижняя граница для {am}.
∃ m0 : amo < a + ℰ amo = supn>=mo xn ≥ xn (n>=mo) ==> ∀ n ≥ m0 xn ≤ amo < a + ℰ
II. Неравенство xn > a – ℰ выполняется для бесконечного множества номеров n.
Пусть n = 1,2,...,N (конечно). Тогда
∀ n > N xn ≤ a – ℰ
m > N am = supn≥m xn ≤ a – ℰ – противоречие, значит, n бесконечно.
Предельная точка
f D a – предельная точка;
A = limx→a f(x)
I. Если {xn} c D, xn ≠ a, xn →n→∞ a, то lim(xn) = A, 0 < |x-a| < δ.
II. ∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.
D f(x), g(x);
∀ xϵD f(x) ≤ g(x) ∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B ==> A ≤ B.
{xn}сD, xn ≠ a, xn → a
f(xn) →n→∞ A
g(xn) →n→∞ B
f(x) < g(x)
limx→af(x) ≤ limx→ag(x)
∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.
δ' = min(δ,δ0)
x ϵ D, |x-a| < δ' ==> |x-a| < δ
|x-a| < δ0
h(x) = f(x) ==> |h(x) – A| < ℰ
∀ ℰ > 0 ∃ δ' > 0 : x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ' ==> |h(x) – A| < ℰ.
Доказательство:
||g(x)| - |B|| ≤ |g(x) – B| < |B|/2
|g(x)| ≥ |B| - |B|/2 = |B|/2 > 0
g(x) ≠ 0
x ϵ D^(a-δ, a+δ)
x ≠ a
f(x)/g(x) определено на множестве D^(a-δ,a+δ)\{a} = D'
{xn} с D', xn ≠ a, xn –n→∞→ a
limx→a f(xn)/g(xn) = A/B
Критерий Коши для функций:
∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : x,y ϵ D, 0 < |x-a| < δ, 0 < |y-a| < δ ==> |f(x) – f(y)| < ℰ
{xn} c D, xn ≠ a, xn → a, {yn} c D, yn ≠ a, yn → a,
∃ limn→∞ f(xn) ∃ limn→∞ f(yn)
limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(yn)
Доказательство:
zn : x1,y1,x2,y1,x3,y3,....
zn c D, zn ≠ a, zn → a ==> ∃ limn→∞ f(zn) = A
f(z2n-1) = f(xn) ==> limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(z2n-1) = A
f(z2n) = f(yn) ==> limn→∞ f(yn) = limn→∞ f(z2n) = A