Тема 10. Задача управления.
1. Задача управления и её формулировка.
Динамическая задача рационального ведения хозяйства – это задача распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей на протяжении некоторого промежутка времени. Задача формулируется в математических терминах.
Переменные величины – управляющие параметры. Множество функций – множество управления времени.
Задача состоит в выборе управляющих параметров как функций времени, принадлежащих множеству управлений. Эти функции определяют переменные функций времени, и с помощью них описывается поведение системы.
Эти переменные – фазовые координаты. Их значения выбираются для максимума целевого функционала. Функции времени для управляющих параметров и координат связаны с помощью ДУ – уравнений движения. Такая задача называется задачей управления.
При строгой формулировке задачи управления используются понятия:
время (момент времени),
фазовые координаты,
управляющие параметры,
управления движения,
определение конечного момента,
целевой функционал.
Время t изменяется как непрерывная величина, t изменяется в фиксированном промежутке t0-t1, где t0 – начальный промежуток (известный), t1 – конечный, требуется найти.
t – характеризуется фазовыми координатами,
x(t)=(x1(t), x2(t), … xn(t))
из них составляется фазовый вектор.
Начальное состояние x(t0)=х0
Конечное состояние x(t1)=х1
Решения которые нужно осуществить в каждый данный момент времени t из указанного интервала, характеризуется с помощью R вещественных чисел u1(t), u2(t), … ur(t) и называются управляющими параметрами.
Задача состоит в выборе из заданного допустимого множества значений ряда переменных, называемых средствами, так же значений, при которых достигается максимум заданной целевой функции.
Траектория движения ракеты:
Управляющие параметры – включение двигателя, длительность, сила тяги.
Фазовые переменные – траектория ракеты, масса, положение, скорость.
Зависимость фазовых координат от силы тяги – ДУ.
Расчёт траектории – отыскание max целевого функционала.
u(t)=(u1(t), u2(t), … ur(t)) ´
Управление должно принадлежать указанному множеству управлений – U
{u(t)}V
Фазовая траектория определяется из уравнений движения, т.е., ДУ.
x(t)=f(x(t), u(t),t)
или
Целевой функционал представляет собой отображение управления (функции времени) на точки вещественной прямой.
– Задача Больца
I показывает что функционал зависит от фазовых координат и параметров, и времени.
F показывает что функционал зависит от конечного состояния и конечного момента времени.
Если функция конечных параметров =0, то
– задача Лагранжа.
Задача в которой I=0, так что
– задача Майера.
Общая задача управления состоит в следующем: требуется найти
(1)
При условии, что x=f(x,u,t)t0 и x(t0)=x0 фиксированы, (x(t),t)T (заданное подмножество) при t=t1, {u(t)}V.