7.Понятие нечеткого числа

Нечетким числом называется нечеткое множество  , определенное на множестве действительных чисел  , функция принадлежности которого

отвечает условиям:

1)       , т.е. нечеткое множество   нормализовано;

2)       ,  т.е. множество   выпуклое;

3)       .

Нечеткое число   положительно, если   для всех  .

Нечеткое число   отрицательно, если   для всех  .

Рис. 3.21. Примеры нечетких чисел.

Рис. 3.22. Примеры нечетких чисел: положительного, отрицательного, а также такого, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Приведем теперь несколько примеров унарных операций на нечетких числах.

1. Операция изменения знака. В результате операции   получаем нечеткое число, противоположное нечеткому числу  . Это число обозначается -  , а его функция принадлежности равна

.               (3.116)

Нечеткие числа   и   симметричны относительно оси  .

2. Операция обращения. В результате операции  ,  , получаем нечеткое число, обратное нечеткому числу  . Это число обозначается  , а его функция принадлежности равна

.             (3.117)

Предполагается, что нечеткое число   положительно или отрицательно. Если   таковым не является, то нечеткое множество   не выпукло и, следовательно,   не может считаться нечетким числом.

3. Операция масштабирования. В результате операции  ,  , получаем нечеткое число, масштабированное относительно нечеткого числа  . Это число обозначается  , а его функция принадлежности равна

.                        (3.118)

4. Операция экспонирования. В результате операции  ,  , получаем степень нечеткого числа  . Это число обозначается  , а его функция принадлежности равна

                       (3.119)

поэтому   - положительное нечеткое число.

5. Операция расчета абсолютного значения. Абсолютное значение нечеткого числа   обозначается   и определяется как

                       (3.120)

Очевидно, что   - положительное нечеткое число.

8. Основные операции над нечеткими множествами

Операции над нечёткими множествами обобщают операции над обыкновенными множествами. Эти операции обычно определяются поэлементно над значениями функции принадлежности. Наиболее популярны операции пересечения и объединения нечётких множеств, определяемые, соответственно, операциями минимум и максимум над значениями принадлежности.

Более общо, вместо минимума и максимума используются, соответственно, t-нормы T и t-конормы S, определяемые как ассоциативные, коммутативные, симметричные бинарные операции на [0,1], такие, что T(x,1)=x и S(x,0)=x.

Операция дополнения задаётся также поэлементно с помощью операции отрицания над значениями принадлежности, которая в общем случае определяется как невозрастающая функция на [0,1] такая, что N(0)=1, N(1)=0. Наиболее популярна простейшая операция отрицания N(x)=1-x.

9. Нечеткое принятие решений

Нечёткие решения

Обратимся теперь к понятию решения. Интуитивно ясно, что решение - это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Предыдущий пример наводит на мысль, что расплывчатое решение, или просто решение, следует определить как нечёткое множество в пространстве альтернатив, получающееся в результате пересечения заданных целей и ограничений. Следующее определение уточняет эту мысль.

Определение 7.1. Пусть в пространстве альтернатив   заданы нечёткая цель   и нечёткое ограничение  . Тогда нечёткое множество  , образуемое пересечением   и  , называется решением. В символической форме

(7.3)

и соответственно  . Взаимосвязь между G и C показана на рис.7.1

Рис.7.1. Функции ограничения, цели и решения.

В более общем случае, если имеется   целей и   ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т.е.

(7.4)

и соответственно

(7.5)

Заметим, что в приведенном определении нечёткого решения цели и ограничения входят в выражение для   совершенно одинаковым образом, что и соответствует тождественности целей и ограничений в логической схеме процесса принятия решений в нечётких условиях.

Коротко обобщенное определение решения можно сформулировать следующим образом:

Решение = Слияние целей и ограничений.

В качестве иллюстрации к соотношению (7.5) рассмотрим простой пример, в котором  , а  ,  ,   и   определяются табл. 7.1. Образуя конъюнкцию  ,  ,   и  , получим таблицу значений для  (табл.7.2). Решение в этом случае есть расплывчатое множество

={(2;0,1), (3; 0,4), (4; 0,7), (5; 0,8), (6; 0,6), (7; 0,4), (8; 0,2)}.

Заметим, что ни одно   из   не принадлежит решению   полностью (т.е. со степенью принадлежности, равной 1). Это, конечно, является следствием того, что заданные цели и ограничения вступают в конфликт друг с другом, исключая тем самым возможность существования альтернативы, которая бы полностью им всем удовлетворяла.

Понятие решения как расплывчатого множества в пространстве альтернатив может по началу показаться несколько искусственным. На самом деле оно совершенно естественно, поскольку расплывчатое решение может рассматриваться как некоторая "инструкция", расплывчатость которой является следствием неточности формулировки поставленных целей и ограничений. Так, в приведенном примере  ,  ,   и   могли бы быть выражены следующими фразами: "  следует взять близким к 5", "  следует взять близким к 3", "  следует взять близким к 4", "  следует взять близким к 6". Тогда решение состоит в том, что "следует взять" "  близкое к 5". При этом точное значение слова "близко" определяется в каждом случае значением соответствующей функции принадлежности.

Таблица 7.1. Определение нечётких целей и ограничений

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0.1	0.4	0.8	1.0	0.7	0.4	0.2	0	0
	0.1	0.6	1.0	0.9	0.8	0.6	0.5	0.3	0	0
	0.3	0.6	0.9	1.0	0.8	0.7	0.5	0.3	0.2	0.1
	0.2	0.4	0.6	0.7	0.9	1.0	0.8	0.6	0.4	0.2

Таблица 7.2. Определение нечёткого решения

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,4	0,7	0,8	0,6	0,4	0,2	0	0

Как следует выполнять расплывчатые инструкции типа "  следует взять близким к 5"? Хотя на вопросы такого типа не представляется возможным дать универсальный ответ, во многих случаях все же разумно выбрать те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к  . В нашем примере этому соответствует  .

В определении нечёткого решения   как пересечения или, в более общем смысле, как слияния цели и ограничений подразумевается, что все входящие в   цели и ограничения имеют в некотором смысле одинаковую важность. Однако встречаются ситуации, в которых некоторые цели и, возможно, некоторые ограничения являются более важными, чем остальные. В таких случаях решение   может быть выражено выпуклой комбинацией целей и ограничений с весовыми коэффициентами, характеризующими относительную важность составляющих элементов. Таким образом,   может быть записано в виде:

(7.6)

где   и   - функции принадлежности, такие, что

С учетом этого ограничения   и   могут быть подобраны так, чтобы передавать относительную важность целей   и ограничений  . В частности, если  , получится любое расплывчатое множество, содержащееся в   и включающее  . Отметим, что формула (7.6) напоминает известный способ сведения векторного критерия к скалярному с помощью образования линейной комбинации компонент векторной функции цели.