Способы задания функции

1. Аналитический.

Определение. Говорят, что функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде одной или нескольких формул.

Примеры.

Для наглядности приведем график функции из последнего примера.

Замечание. Если при аналитическом способе задания область определения функции не указана, то под ней подразумевают все значения , для которых функция имеет смысл (существует).

Примеры. ;

.

2. Графический.

Определение. Говорят, что функция задана графически, если дан ее график.

Определение. Графиком функции называется совокупность всех точек на координатной плоскости вида , где .

3. Табличный.

Определение. Говорят, что функция задана табличным способом, если дана таблица, где рядом со значениями аргументов указаны соответствующие им значения функции.

Пример. Пусть - номер месяца в текущем году, - количество проданного товара. Тогда таблица

	1	2	3
	3	4	7

задает функциональную зависимость между этими величинами.

Замечание. Существуют и другие способы задания функций.

Классификация функций

1. Элементарные и неэлементарные функции.

Определение. Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. , где ;

2. степенная: ;

3. показательная: ;

4. логарифмическая: ;

5. тригонометрические: ;

6. обратные тригонометрические: .

Определение. Если вместо аргумента функции подставить функцию (такая операция называется взятием функции от функции), то получившаяся при этом функция называется сложной функцией. В этом случае - независимая переменная, - зависимая переменная, а называется промежуточным аргументом.

Пример.

.

Задания.

1. Пусть . Найдите .

2. Пусть . Найдите .

Замечание. Если операцию взятия функции от функции проделать более одного раза, то получившаяся при этом функция также называется сложной.

Т.о., если , то - сложная функция.

Задание.

Пусть . Найдите .

Определение. Элементарными функциями называются все основные элементарные функции, а так же функции, полученные из них одной формулой с помощью четырех арифметических действий и операции взятия функции от функции, примененных конечное число раз.

Пример.

1. Пусть , . Тогда

. Аналогично доказывается, что элементарными являются следующие функции , …, . А значит, будет элементарной как сумма элементарных.

Определение. Функция называется многочленом - ной степени или целой рациональной функцией.

Если , то многочленом первой степени будет функция , которую в школьном курсе называют линейной и обозначают .

Если , то многочленом второй степени будет функция , которую в школьном курсе называют квадратичной и обозначают .

2. Пусть , . Тогда

Определение. Функция называется дробно - рациональной функцией.

3. Функции , , , будут элементарными, т.к. получены из основных элементарных с помощью операции взятия функции от функции.

Определение. Функции, не являющиеся элементарными, называются неэлементарными.

Примеры.

1. Функция будет неэлементарной, т. к. получается из элементарных с помощью двух формул.

Определение. Произведение всех натуральных чисел от до , где , называется - факториалом и обозначается

Т.о.,

Функция будет неэлементарной, т.к. количество произведений бесконечно увеличивается с увеличением .