10. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.

Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде                 п = {cos α, cos β, cos γ}, где α, β, γ – углы, образованные нормалью с осями координат, то   (выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из (13.2), (13.3) следует, что

.     (13.7)

 

Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из формулы (12.5). Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти рассуждения, получим, что

                                                        (13.8)

где D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.

11. Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1, заданную уравнением    z = f1(x, y), S2 ( z = f2 (x, y) ) и S3 – цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-ной оси Oz (рис.1).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл                      

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1

cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением  dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Таким же образом можно получить соотношения

   

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

            (15.1)

Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

                                     (15.2)

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

12. Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

                 ,     ,

                    .

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

                                                                     .

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

                                    = .

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

                         

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

                     

и подставим его в предыдущее равенство:

           . Тогда

      

      =  Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-сти σ:

  

  

так как  . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

   = .

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

   = ,

   = .

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

  

                                                                     (15.6)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

   .        (15.7)