2.1. Линеаризация первого класса функций
Первый класс функций обычно сводится к уравнениям множественной линейной регрессии путем замены переменных.
2.1.1. Система уравнений для расчета параметров квадратической регрессии.
Рассмотрим, например, следующее уравнение регрессии:
y=a0 + a1x + a2x2 (уравнение парной квадратической регрессии или просто параболы).
Обозначим x=x1; x2=x2
Получим уравнение y=a0 + a1x1+ a2x2, для которого ранее уже рассматривалась система нормальных уравнений. Построим эту систему (6.1), а затем выполним обратную замену переменных.
Уравнение двухфакторной линейной регрессии имеет вид:
y=a0 + a1x1+ a2x2
Система нормальных уравнений для расчета его параметров уже рассматривалась на предыдущих лекциях:
a0n+ a1 ∑x1+a2 ∑x2=∑y
(a0∑x1 + a1 ∑x21+a2 ∑x1x2=∑yx1 (6.1)
a0∑x2+ a1 ∑x1x2+a2∑x22 =∑yx2
Значения переменных в системе (6.1) снова заменим: x1 на x, а x2 на x2.
Получим другую систему (6.2), которая непосредственно может использоваться уже для расчета параметров квадратического уравнения регрессии y=a0 + a1x + a2x2.
Система (6.2) имеет следующий вид:
a0n+ a1 ∑x+a2 ∑x2=∑y
a0∑xn + a1 ∑x2+a2 ∑x3=∑yx (6.2)
a0∑x2+ a1 ∑x3+a2∑x4 =∑yx2
Точно также приводится к линейному виду полином любой степени.
2.1.2. Система уравнений для расчета параметров гиперболы.
Построим теперь систему нормальных уравнений для расчета параметров гиперболы y= a0 + a1/x
Заменяя в уравнении y= a0 + a1/x величину 1/x на z,получаем простейшее линейное уравнение парной регрессии y=a0+a1z, для которого также уже рассматривалась система нормальных уравнений:
a0+a1Σz=Σy
a0Σz+a2Σz2=Σyz
Выполним обратную замену переменных, подставляя вместо z переменную 1/x. Получим следующую систему
na0+a1∑1/x=∑y
a0∑1/x+a1∑1/x2=∑y/x (6.3)
Уравнение регрессии в виде гиперболы часто используется для описания различных экономических процессов, например, если a1>0, то классическим примером такой зависимости будет так называемая кривая Филлипса (см. рис.6.1).
В конце 50-х ХХ в. английский экономист Филлипс установил (на основе статистики за 100 лет) такую (обратную) зависимость между уровнем безработицы и приростом средней заработной платы.
Существуют и другие типы кривых, которые описываются уравнением гиперболы, например, кривая, которая изображена на другом графике (рис. 6.2).
У этой гиперболы a1<0. Такая кривая известна в экономической теории под названием «Кривая Энгеля».
Рис. 6.1. Кривая Филлипса
Рис. 6.2 Кривая Энгеля
Подобной зависимостью хорошо описывается взаимосвязь между долей расходов на покупку продуктов питания в общей сумме потребительских расходов и величиной доходов населения. С ростом уровня доходов семьи доля расходов на покупку продуктов питания уменьшается, а доля расходов на покупку товаров длительного пользования наоборот растет.
Такую закономерность вывел в 1857 году немецкий статистик Э. Энгель.
2.1.3. Система нормальных уравнений для расчета параметров полулогарифмической функции
Для описания “кривой Энгеля”, т.е. монотонно возрастающей функции с заданным пределом насыщения, может использоваться не только гипербола. Экономисты Уоркинг (1943г.) и Лизер (1964г.) использовали для описания “кривой Энгеля” полулогарифмическую функцию y= a0+a1ln x.
Такая функция также легко приводится к линейному виду путем замены величины ln x на новую переменную z и последующей обратной замены переменных. Таким образом, чтобы рассчитать параметры такого уравнения регрессии, строится система:
na0+a1∑ln x =∑y
a0∑ln x +a1∑(ln x)2 =∑y ln x (6.4)