2Й учебный вопрос. Статистические критерии согласия Пирсона и Романовского

Критерий Пирсона χ² представляет собой сумму отношений квадратов расхождений между теоретическими и фактическими частотами ряда распределения к теоретическим частотам.

(7.3)

Фактическое значение χ² сравнивают с табличным (критическим), определяемым по специальным таблицам статистического распределения χ² в зависимости от принятого уровня значимости α и числа степеней свободы.

Уровень значимости (α) – это вероятность допуска ошибок в утверждении о том, что справедлива гипотеза о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины. Обычно эту вероятность принимают равной либо 0,01 или 0,05, т.е. в первом случае гипотеза справедлива с вероятностью 0,99 (или 99%), во втором случае – с вероятностью 0,95 (или 95%). Чаще всего в практических исследованиях принимают α = 0,05.

Число степеней свободы (k) рассчитывается как число групп статистических единиц в ряду распределения (т.е. различных значений признака) минус единица и минус число параметров распределения, использованных для нахождения теоретических частот. При выравнивании ряда по кривой нормального распределения обычно принимают число степеней свободы k =n-1-2=n-3 (так как нормальное распределение характеризуется двумя параметрами).

Если фактическое χ² оказывается меньше табличного, то расхождения между фактическими и теоретическими частотами можно считать случайными, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения принимается.

При отсутствии таблиц для оценки случайности расхождений теоретических и фактических частот можно воспользоваться критерием Романовского.

Этот критерий основан на расчете соотношения:

(7.4)

Рассчитанная величина сравнивается с числом 3. Если < 3, то расхождения между фактическими и теоретическими частотами считаются случайными, и гипотеза о нормальном законе распределения может быть принята.

Если < 3, то расхождения между фактическими и теоретическими частотами считаются существенными, и гипотеза о нормальном законе распределения отвергается.

3й учебный вопрос. Статистический критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова (λ) основан на определении максимального расхождения между накопленными частостями или частотами фактического и теоретического распределения.

Величина этого критерия рассчитывается по формуле:

λ = d (7.5)

где d – максимальная величина расхождений между накопленными теоретическими и фактическими частостями, а N – сумма всех частот (численность всей статистической совокупности).

Если пользоваться не частостями, а частотами (абсолютными показателями), то формула примет вид:

λ = (7.6)

где D – максимальная разность между накопленными частотами;

N – сумма всех частот (численность всей статистической совокупности).

Рассмотрим расчет критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова на следующем примере.

Пример. Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и 2 таблицы 7.1). Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний, необходимо выровнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Таблица 7.1