Пример:

Y₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁+ε₁,

Y₂=b₂₁y₁+a₂₂x₂+ε₂.

Исходные данные для расчета параметров модели представлены в таблице:

№ наблюдения	Y1	Y2	X1	X2
1	2	5	1	3
2	3	6	2	1
3	4	7	3	2
4	5	8	2	5
5	6	5	4	6
Среднее значение	4	6,2	2,4	3,4

Приведенная форма модели имеет вид:

y₁=₁₁x₁+₁₂x₂+e₁,

y₂=₂₁x₁+₂₂x₂+e₂.

Где e₁, e₂ – случайные ошибки приведенной формы модели

Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем традиционный МНК и определяем коэффициенты  (которые теперь становятся числами). Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

у₁=0,852х₁+0,373х₂

у₂= -0,072х₁-0,00557х₂

Далее переходим от приведенной формы модели к структурной. Для этого из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое:

х₂=(у₂+0,072х₁)/ (-0,00557).

Подставляем в первое уравнение ПФМ выражение для х₂ и получаем:

у₁=0,852х₁+0,373*[(у₂+0,072х₁)/ (-0,00557)].

После окончательных преобразований получаем:

у₁=[0,373/0,00557]*у₂+[0,852-0,373*(-0,072/-0,00557)]*х₁

Далее соответственно обозначаем:

[0,373/0,00557]= а₁₂

[0,852-0,373*(-0,072/-0,00557)]=а₁₁

Получаем первое уравнение структурной формы модели:

у₁= - 66, 966 y₂ - 3,970 x₁

Аналогично выражаем у₂, и соответствующие коэффициенты при втором уравнении. Получаем второе уравнение структурной формы модели:

у₂= - 0, 085 y₁+ 0,026 x₂

Если перейти от переменных, выраженных в виде отклонений от их среднего уровня, к исходным переменным, то можно определить свободные члены уравнений по формулам:

a₀₁ = 4- b₁₂∙6,2 –a₁₁∙2,4 = 428,717

a₀₂ = 6,2 - b₂₁∙4 - a₂₂∙3,4 = 6,451

4Й учебный вопрос: Основное содержание двухшагового мнк

Двухшаговый МНК (ДМНК) называется так, потому что метод наименьших квадратов при его использовании применяется дважды.

Если система сверхидентифицируема, то косвенный МНК не используется, т.к. он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели.

В этом случае используют двухшаговый МНК, суть которого заключается в том, чтобы на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно использовать обычный МНК применительно к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Таким образом, обычный МНК используется дважды.

В первый раз – для оценки параметров уравнений приведенной формы модели и для нахождения на ее основе теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных. Второй раз – применительно к сверхидентифицируемому уравнению структурной формы модели, для нахождения его параметров на основе теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Рассмотрим этот метод на примере системы из двух уравнений.

Пусть Qt=a₁+a₂*P_t+a₃*Pt+ε_1t - сверхидентифицируемое уравнение

Pt=b₁+b₂*Qt+b₃*Y_t+b₄*Y_t-1+ ε_2t - идентифицируемое уравнение.

Находим параметры этой системы в виде следующих этапов:

Этап 1. Строится приведенная форма модели

Pt=σ₂₀+σ₂₁*Rt+σ₂₂*Yt+σ₂₃*Y_t-1+Vt

Qt= σ₁₀+σ₁₁*Rt+σ₁₂*Yt+σ₁₃*Y_t-1+Ut

Этап 2. Для определения коэффициентов b₁ b₂ b₃ b₄ идентифицируемого уравнения используем косвенный МНК

Этап 3. Для определения коэффициентов сверхидентифицируемых уравнений: в каждом уравнении выявляем эндогенные переменные, находящиеся в правой части уравнения и заменяем их теоретическими значениями, вычисленным по приведенной форме. Так поступаем со всеми эндогенными переменными правой части.

Этап 4. Переносим все переменные, включая экзогенные, входящие в правую часть - они будут векторами независимых переменных. Переменная в левой части - это у. Затем применяем МНК второй раз для определения а₁, а₂, а₃.