Лекция 8. Расчет премии опциона методом Монте-Карло

Основная страница

Лекция 1. Базисные финансовые расчеты. Лекция 2. Кредит. Ценные бумаги с фиксированным доходом. Лекция 3. Иностранная валюта. Лекция 4. Обыкновенные акции. Лекция 5. Финансовые фьючерсы. Лекция 6. Опционы. Лекция 7. Арбитраж и хеджирование. Лекция 8. Расчет премии опциона методом Монте-Карло.

1. Модели расчета премии опциона

2. Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло

3. Оценка неизвестных параметров математической модели цены

4. Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло

5. Литература Модели расчета премии опциона

Справедливая стоимость опциона - это обоснованный минимальный платеж покупателя опциона подписчику, получив который подписчик опциона может, используя хеджирующую стратегию, обеспечить гарантированным образом опционные платежи, независимо от случайного состояния цены базисного актива на рынке. Для краткости далее будем справедливую стоимость опциона называть премией, также как и рыночную цену опциона.

Модель Блэка-Сколеса

При расчете теоретической премии опциона большое значение имеет, как выбрана математическая модель цены базисного актива. Наиболее часто в настоящее время используется модель в виде скалярного линейного СДУ с мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности:  

dSt =  St dt + St dw(t).

(1)

Знаменитая формула Блэка-Сколеса расчета премии стандартного опциона купли европейского стиля, полученная для такой модели, записывается в виде

(2)

где

Ф(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, K - цена исполнения опциона, S₀ - цена или значение базисного актива в момент покупки опциона, r - безрисковая процентная ставка, T - оставшийся срок до истечения контракта.

Для моделей других типов, а также для опционов американского стиля такой простой формулы не получено. Как видим, формула Блэка-Сколеса связывает размер премии с шестью параметрами:

Pr = Pr(S₀, K, T, r,  , ).

Премия опциона купли европейского стиля прямо пропорциональна цене базисного актива S₀, волатильности  , оставшемуся сроку до истечения контракта T, безрисковой процентной ставке r и обратно пропорциональна цене исполнения K.

Премия опциона продажи может быть записана в аналогичном виде:

(3)

 

При расчете премии параметр  в СДУ задается по-разному в зависимости от типа базисного актива:

• = r для опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;

• = r-q для опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;

• = r-r_f для валютного опциона, причем r - безрисковая ставка процента в валюте торговли, r_f - в базисной валюте;

• = r-q для опционов на акционные индексы, где q - осредненная ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;

• = 0 для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь S_t - текущая фьючерсная цена;

• = r-q для облигационных опционов, где q - приведенная купонная процентная ставка, а S_t - текущая цена базисной облигации.

Фактически, выбор значений параметров  и  является составной частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного актива при расчете премии опциона.