2.Методы анализа электрических цепей переменного тока.

Анализ электрических цепей в частотной области. Синусоидальные источники. Установившиеся режимы. Метод комплексных амплитуд. Представление электрических сигналов во временной и частотной областях. Комплексная форма ряда Фурье. Модели двухполюсных элементов в частотной области. Законы Кирхгофа на комплексной плоскости.

Задача анализа электрической цепи была сформулирована ранее как задача определения реакции на заданное внешнее воздействие.

Рассмотрим установившийся режим при включенных синусоидальных источниках.

E(t)=U_L(t) + U_C(t) +U_R(t);

U_R(t)=R*I(t); U_L(t)= L* ; U_C(t)= ; i_c=c

R *I(t) + L* + = E(t) ;

R* + + = ; +

Метод комплексных амплитуд.

e^jψ= cosψ + j sinψ ; j ; j² =-1;

cos ψ = ; sin ψ = ;

I(t) = I_max * cos(ωt +ψ) = I_max *[e ^j(ωt+ψ) + e ^-j(ωt+ψ)] = *[I_max*e^jψ e^jωt + I_max*e^-jψ*e^-jωt ] = [ _max *e^jωt + _max *e ^(-jωt)] = Re( _max *e^jωt) ;

_max – комплексная амплитуда тока =I_max * e^jψ ;

_max – комплексно - сопряжённая амплитуда = I_max * e^-jψ ;

_max * _max =I_max²=I_max²; I_max=I_max*e^j; I_max-модуль комплексной амплитуды тока.

-фаза, аргумент комплeксной амплитуды.

Если во временной области ток задан выражением i(t)=I_max*cos(t+)=I_max *sin(t+), то частотные области этот ток записывают так _max =I_max*e^j; i(t) соответствует _max. _max =I_max*cos+j*I_max*sin=a+j*b

Представление электрических сигналов во временной и частотной областях.

-периодический сигнал во временной области.

Используя преобразования Фурье, его можно представить в частотной области: .

,

где , - частота 1-й (основной) гармоники.

(1) – среднее значение сигнала (постоянная составляющая).

- амплитуда синусоидальной составляющей.

- амплитуда косинусоидальной составляющей.

(2) ,

где - амплитуда -ной гармоники.

(аргумент), начальная фаза - ной гармоники.

Если источники представить в виде ряда Фурье, тогда для расчёта цепи может быть использован принцип суперпозиции, то есть необходимо рассчитывать каждую гармоническую составляющую в отдельности, так как частоты у них разные.

Комплексная форма ряда Фурье.

{ с точностью до значения аргумента } =

=

где

- комплексная амплитуда - ой гармоники.

- комплексно-сопряженная амплитуда - ой гармоники.

(3).

Действующее значение периодической функции:

- связь между действующим и максимальным значением.

Модели двухполостных элементов в частотной области.

Резистивный элемент:

,

Фазы напряжений и тока на резисторе совпадают.

Индуктивный элемент:

- комплексное сопротивление индуктивности.

- модуль комплексного сопротивления индуктивности.

, - комплексные сопротивления на индуктивности

Напряжение на индуктивности опережает ток на 90°.

Емкостной элемент.

,

- модуль комплексного сопротивления на конденсаторе.

- комплексная проводимость

Законы Кирхгофа на комплексной плоскости:

- 1–ый закон Кирхгофа,

- 2-ой закон Кирхгофа.

Последовательные схемы замещения двухполюсников. Комплексные проводимость и сопротивление. Основные теоремы и принципы для расчета цепей синусоидального тока. Метод эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике). Узловые уравнения.

Комплексное сопротивление и проводимость

Р ассмотрим пассивный двухполюсник:

, где - модуль входного комплексного сопротивления, - аргумент комплексного сопротивления

, где - активное сопротивление, - реактивное сопротивление.

С хемы замещения пассивных двухполюсников:

- комплексная проводимость

, где - активная проводимость, - мнимая проводимость

Основные теоремы и принципы для расчета цепей синусоидального тока.

1. Законы Кирхгофа:

- 1–ый закон Кирхгофа,

- 2-ой закон Кирхгофа.

2. Принцип суперпозиции:

Ток в любой ветви линейной схемы равен алгебраической сумме от действия каждого источника в отдельности:

3. Метод эквивалентного генератора или активного двухполюсника:

Z_вх=r_вх±jx_вх

Z_н=r_н±jx_н

У_вх=1/z_вх

4. Метод узловых потенциалов:

Расчет цепей с взаимной индукцией. Трансформатор.

Расчет цепей с взаимной индукцией.

Когда две катушки l1 l2,  расположены достаточно близко, так что часть Ф₁₂магнитного потока Ф₁ (Ф₁ = Ф'₁ + Ф₁₂), создаваемого током первой катушки, пронизывает вторую, а часть Ф₂₁ магнитного потока Ф₂ (Ф₂ = Ф'₂ + Ф₂₁), создаваемого током второй катушки, пронизывает первую, между катушками возникает магнитная связь.

Магнитная связь между катушками проявляется в том, что при изменении тока в катушках изменяются магнитные потоки и в катушках кроме ЭДС самоиндукции е₁ = - w₁ dФ₁/dt, e₂= - w₂ dФ₂/dt возникают ЭДС взаимной индукции: во второй катушке - от потока Ф₁₂  е₁₂ = - w₂ dФ₁₂/dt, в первой - от потока Ф₂₁ е₂₁ = -w₂ dФ₂₁/dt.

Явление наведения ЭДС во втором контуре при изменении тока в первом называется явлением взаимной индукции.

 

Рис. 1. Расчетная схема

 

Рассмотрим схему, показанную на рис. 1. Две катушки с параметрами  ,   и  ,   индуктивно связаны.М – взаимная индуктивность катушек. Одноименные зажимы (начала катушек) отмечены жирными точками.

В узле b алгебраическая сумма токов равна нулю:

.

Недостающие уравнения записываем по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим левый контур, состоящий из сопротивлений  ,  ,  ,  . Будем обходить контур по часовой стрелке. В левой части уравнения записываем входное напряжение  . Справа от знака равенства пишем сумму напряжений на всех участках контура:

 

.                                      (1)

Здесь

;     ;     .                      (2)

 

Так как направления токов   и   совпадают с направлением обхода контура, то каждый участок мы проходим по току, и в формулах (2) токи записываются со знаком «плюс».

Напряжение на участке bc складывается из двух составляющих:

 

,                                      (3)

 

где   – сопротивление взаимной индукции, равное   = М  .

Первое слагаемое справа от знака равенства в формуле (3) представляет собой напряжение на зажимах bc (на элементе  ), наведенное собственным магнитным потоком, который создается током  . Это напряжение самоиндукции второй катушки. Оно взято со знаком «плюс», так как на участке bc от точки b к точке c мы идем по току  . Второе слагаемое – это напряжение взаимной индукции. Оно наводится во второй катушке магнитным потоком третьей катушки, который создается током  .

Вторая и третья катушки имеют согласное включение, так как токи в них протекают одинаково относительно одноименных зажимов: в обеих катушках от начала к концу. Магнитные потоки катушек при этом имеют одинаковые направления и наводят напряжения одного знака, т. е.  при согласном включении напряжение взаимной индукции имеет тот же знак, что и напряжение самоиндукции.

Окончательно уравнение (1) принимает вид:

 

.                    (4)

Аналогично записываем уравнение для правого контура:

 

.              (5)

Напряжение на каждом элементе мы выделили с помощью фигурной скобки.

Источников в контуре нет, поэтому в левой части уравнения стоит ноль. При обходе контура по часовой стрелке участки dc и cb мы проходим против тока  , поэтому первые два слагаемые записаны с минусом. При согласном включении третье слагаемое имеет тот же знак, что и второе. Участки be и ed мы проходим по направлению тока: идем от b к e и от e к d. Т.е. напряжения   и   и ток   имеют на схеме одинаковые направления, поэтому четвертое и шестое слагаемые записаны с плюсом. Так как включение катушек согласное, то знак пятого слагаемого (напряжения взаимной индукции третьей катушки) совпадает со знаком четвертого слагаемого (напряжения самоиндукции этой же катушки).

Трансформатор.

Трансформатором называют статическое электромагнитное устройство, имеющее две или большее число индуктивно-связанных обмоток и предназначенное для преобразования посредством электромагнитной индукции одной (первичной) системы переменного тока в другую (вторичную) систему переменного тока.

Работа трансформатора основана на двух базовых принципах:

1. Изменяющийся во времени электрический ток создаёт изменяющееся во времени магнитное поле (электромагнетизм)

2. Изменение магнитного потока, проходящего через обмотку, создаёт ЭДС в этой обмотке (электромагнитная индукция)