4 Затухающие колебания

Колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.

        Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном трением (механические системы) и сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах).

        Колебательная система называется линейной, если её свойства не меняются при колебаниях, то есть такие параметры, как сила тяжести, упругость пружины, сопротивление, емкость, индуктивность не зависят ни от смещения, ни от скорости, ни от ускорения колеблющейся величины. В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные системы.

       Уравнения затухающих колебаний

        Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай - трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия. Второй закон Ньютона в нашем случае запишется так:

        Это уравнение есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде:

   - коэффициент затухания, 

   - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.

5 Вынужденные колебания. Резонанс.

     где, также как и для случая затухающих свободных колебаний, В - коэффициент затухания,   - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания, - частота вынуждающего воздействия на систему

 Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы по-прежнему ос­тается неизменной.Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы

 υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ₀, происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колебаний - резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ₀  внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время со направлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А_т от частоты вынужда­ющей силы υ  представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

 Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

6 .Волны. Виды волн. Уравнение плоской и сферической волны.

Волной (волновым процессом) называется процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Для волновых процессов характерен перенос энергии без переноса вещества.

Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волновой процесс за время одного периода:

 

Виды волн:

1)На поверхности жидкости

2)Упругие (механические) – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные.

Продольные волны – частицы среды колеблются в направлениях распространения волны.

Поперечные волны – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

3)Электромагнитные – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью.

Волновое число:

Уравнение плоской волны:

Плоская волна – волна, волновые поверхности которой имеют вид плоскостей, параллельных друг другу.

Уравнение сферической волны:

Сферическая волна – волна, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер.

7. Волновое уравнение и его решение. Энергия упругой волны. Вектор Умова. Плотность потока энергии электромагнитного поля.

Волновое уравнение:

Энергия упругой волны.

Величина W₀ называется плотностью энергии упругой волны. Для плоской волны, распространяющейся по оси Х, зависимость смещения от координаты и времени определяется уравнением

где k=w/v -т.н. "волновое число. Откуда

Из соотношений 1 и 2 получаем

Вектор Умова - вектор плотности потока энергии физического поля, численно равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения энергии в данной точке. Назван по имени H. А. Умова который ввёл понятие о потоке энергии в сплошной среде.

Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля назван вектором Пойтинга.

Плотность энергии электромагнитного поля является суммой плотностей энергий электрического и магнитного полей.

где E - напряжённость электрического поля, D - электрическая индукция, B - магнитная индукция, H - напряжённость магнитного поля