Лекция 5 (30.09.09)

Из уравнения (6) требуется найти f(с крышечкой), для чего необходимо найти матрицу обратную B.

Операторы псевдообращения

При линейной обработке сигналов часто встречается задача обращении преобразования вида (1) для нахождения точного значения f.

Вектор f имеет размер (Qx1).

Вектор p имеет размер (Px1).

Если T – квадратная матрица, то можно оценить f(с крышечкой) по формуле (2), если обратная матрица существует.

Если T – неквадратная матрица, например размера (PxQ), то для решения уравнения (1) находятся псевдообратные матрицы T⁺ размера (QxP).

Существует несколько подходом нахождения псевдообратной матрицы:

1. можно определить оператор с так называемой обобщённой обратной матрицей T^-, для которой должны выполняться соотношения (4).

Обобщённой обратной матрице является единственной при некоторых условиях:

• если P > Q, то уравнений (1) является переопределённым, т.е. количество элементов вектора P превышает количество элементов оцениваемого вектора f. И в этом случае T^- определяется по формуле (35).

• если P < Q, то уравнение (1) будет недоопределённым, в этом случае обобщённая определяется по формуле (6).

• если T^- можно разложить на строки и столбцы и представить в виде прямого произведения (уравнение (7)), то можно уменьшить объём вычислений при обращении к этой матрице.

2. оператор псевдообращения методом наименьших квадратов. В этом случае матрица обозначается T^S. Такая матрица должна определяться из соотношения (8).

3. условно обратная матрица T^#. Определяется соотношением (9).

Для любой матрицы T всегда существует матрица T^S и T^#, но они могут быть не единственными.

Обобщённой обратной матрицы обладает рядом свойств (10), (11), (12), (13), (14), (15).

Таким образом система линейных уравнений (1) может соответствовать трём случаям:

1. система уравнений имеет единственной решение f(с крышечкой).

2. система уравнений имеет несколько решений.

3. система уравнений не имеет точного решения.

Если система уравнений имеет хотя бы 1 решение, то она совместная, в противном случае – несовместная.

Система (1) будет иметь решение тогда и только тогда, когда для матрицы T существует условно обратные матрицы T^#.

Продолжение нахождения решений

По методу наименьших квадратов имеем систему уравнений, которая в случае совместности уравнения будет иметь одно или несколько решений. Обычно выбирается оценка f(с крышечкой) такой, чтобы она минимизировала ошибку по методу МНК.

Ошибка оценки будет минимальная, если определить обобщённую обратную матрицу B^-.

Обобщённая обратная матрица должны удовлетворять уравнению (9), а в случае, если исходные уравнения совместны, то уравнению (10).

Для получения идеальной оценки f(с крышечкой) желательно иметь переопределённую матрицу.

Если исходная матрица разделима (формула (11), то и обобщённая обратная матрица B^- также разделима.

Пространственная реставрация изображений методом регрессии

Метод реставрации на основе псевдообращения матриц имеет существенные ограничения: шум на изображении может повлиять на вычислительный процесс, и в результате полученное изображение не будет соответствовать действительности. Для того чтобы обойти это ограничение используется метод регрессии.

Уравнение (1) – учёт шума. n – вектор, причём предполагается что он (шум) имеет нулевое среднее значение и известную ковариационную матрицу. В этом случае необходимо определить f(с крышечкой) с помощью уравнения (2).

W – реставрирующая матрица, которая должна минимизировать ошибку. Матрица W определяется из уравнения (3).

K_n – ковариационная матрица.

Для нахождения f(с крышечкой) необходимо взять производную f(с крышечкой) и приравнять её к нулю (формула (4)).

Если P > Q, а обратная матрица относительно B^TK^-1_nB существует, результирующая реставрирующая матрица принимает вид (5) (для переопределённой системы.

Если система недоопределена модели P < Q, оценка на основе регрессии имеет вид: (6) и (7).

В результате f(с крышечкой) может быть получена по формуле (8).