5 Типовые звенья сау

По динамическим свойствам простейшие звенья подразделяются на усилительные, апериодические, интегрирующие, дифференцирующие, ко­лебательные, звенья чистого запаздывания.

Основными характеристиками звеньев являются: диф. ур., передаточная и переходная функции, АФХ.

Усилительные звенья

Особенностью усилительных звеньев является их практическая безынеционность, т.е. выходная величина в точности воспроизводит входную в измененном масштабе (усилители, потенциометры, редукто­ры, рычаги и т.д.):

, (4.4)

где - коэффициент усиления, который может быть больше и меньше единицы и иметь размерность, согласующую выходную и входную вели­чины.

В операторной форме:

.

Передаточная функция усилительного звена:

.

Амплитудно-фазовая характеристика

не зависит от частоты.

На комплексной плоскости представляем точку на положительной вещественной оси, удаленную от начала координат за величину .

Если на вход звена подается ступенчатый единичный сигнал, то на выходе получается переходная функция в виде ступенчатого сигнала величины .

Апериодическое звено

Его называют инерционным звеном первого порядка. Диф. ур. его запишем так:

, (4.5)

где - постоянная времени, имеющая размерность времени, -коэффициент усиления.

В операторной форме (4.5):

. (4.6)

Передаточная функция звена будет такой:

. (4.7)

Если , т.е. , то

,

откуда .

Сделав в передаточной функции (4.7) замену , получим:

.(4.9)

Рисунок 4.1 - АФХ апериодического звена

Интегрирующее звено

Выходная величина интегрирующего звена равна интегралу по времени от входной, , или . (4.12)

В операторной форме выражение (4.12) запишем так:

, передаточная Функция звена равна:

; . (4.13)

Решение уравнения (4.12) при ННУ и при единич­ном входном воздействии имеет вид:

, или , (4.14)

где - постоянная времени интегрирования, численно равна време­ни, через которое значение выходной величины станет равно входному воздействию (рисунок 4.3).

АФХ интегрирующего звена по­лучается из уравнения (4.12) заменой :

. (4.15)

АФХ интегрирующего звена совпадает с мнимой осью комплексной плоскости, начинаясь в при и стремясь к нулю при .

6. Преобразование структурных схем

При анализе САУ любой сложности приходится изменять ее структуру не изменяя свойств в целях удобства исследования или наглядности. Правилами:

при последовательном включении звеньев их результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций от­дельных звеньев;

при параллельном включении звеньев результирующая переда­точная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев;

при встречно-параллельном включении звеньев результирующая передаточная функция равна частному от деления передаточной функции прямой связи на единицу плюс или минус передаточная функ­ция разомкнутого контура, в котором звенья включены встречно-параллельно (рисунок 6.1). При этом знак «плюс» соответствует отрица­тельной, а «минус» - положительной обратной связи. Для схемы (рисунок 6.1) справедливы соотношения:

.

Исключив из этой системы уравнений промежуточные переменные и , получим :

. (6.1)

При последовательном соединении минимально фазовых звеньев результирующая передаточной функции будет также минимально фа­зовой.

При параллельном соединении звеньев сумма минимально фазовых звеньев может иметь нули в правой полуплоскости и, следователь­но, дать неминимальнофазовое звено. И наоборот, параллельное соединение не минимально фазовых звеньев может дать минимально фазовое звено.

При перемещении звена через узел по направлению ветвления необходимо в подсоединенные к узлу ветви добавить звенья с передаточной функцией перемещаемого звена (рисунок 6.2).

При перемещении звена через узел ветвления против направления ветвления необходимо в подсоединенные к узлу ветви доба­вить звенья с передаточной функцией, обратной передаточной функции перемещаемого звена (рисунок 6.3).

На (рисунке 6.2) и (рисунке 6.3) короткие верхние стрелки указывают нап­равление ветвления, нижние длинные - направление переноса зве­на.

В 1953 г. Мейсон предложил формулу для вычисления передаточ­ной функции системы любой сложности между любыми двумя переменными. Для этого ее представляют в форме сигнальных графов, состоящих из узлов и вершин. Точки, где новые сигналы не образуются, узлами не являются. Ветвями являются передаточные функции. Передаточная функция ветви обратной связи имеет знак этой связи. Изображения сигналов, входящих в какой-либо узел, складываются, образуя изображение нового сигнала, выходящего из этого узла (рисунок 6.4). Результирующая передаточная функция определяется по формуле:

(6.2)

Рисунок 6.2 - Виды переноса ветвлений

Рисунок 6.3 - Виды переноса звеньев

где -передаточная функция -го пути, составленная без учета имеющихся в ней обратных связей, т.е. произведения передаточ­ных функций ветвей сигнального графа, образующего этот путь;

- определитель сигнального графа системы;

- адъюнкт -го прямого пути.

и выражаются через передаточные функции контуров, состоя­щих из ветвей, образующих замкнутый путь прохождения сигнала. Контуры называются не касающимися, если они не содержат общих уз­лов.

равен единице минус сумма произведений передаточных Функ­ций всех возможных сочетаний по нечетным числам не касающихся контуров, плюс сумма произведений передаточных функций всех возможных сочетаний по четным числам не касающихся контуров. В сум­му членов, содержащих передаточные функции по одному контуру, входят передаточные функции всех замкнутых контуров.

составляется таким же образом для той части системы, которая не касается i-го прямого пути, т.е. не имеет с ним общих узлов.