Решение задания первой части Определение законов распределения
Для таблицы 2 рассчитаем вероятности каждой из стоимостей пакета ценных бумаг по формуле Pi=ni/N, где N – количество элементов выборки, ni – частота для какого либо значения. Рассчитаем математическое ожидание по формуле µ=∑Pi*Xi. Математическое ожидание равно 12,4. Первая медиана равна 11, вторая – 13. Среднее арифметическое равно 12,4. Найдем дисперсию по формуле D=∑Pi*(Xi-µ)2=4,1. Найдем средне квадратичное отклонение из формулы σ2=D. σ=2,02. Таблица 2.1 содержит исходную выборку, вероятности для каждой из цен за единицу пакета ценных бумаг и промежуточные данные для расчета дисперсии и математического ожидания.
Таблица 2.1
Хj 102 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
nj |
1 |
5 |
5 |
10 |
25 |
20 |
25 |
20 |
15 |
5 |
1 |
Pj |
0,0076 |
0,0379 |
0,0379 |
0,0758 |
0,1894 |
0,1515 |
0,1894 |
0,1515 |
0,1136 |
0,0379 |
0,0076 |
Pj*Xj |
0,053 |
0,303 |
0,3409 |
0,7576 |
2,0833 |
1,8182 |
2,4621 |
2,1212 |
1,7045 |
0,6061 |
0,1288 |
Pj *(Xj-ϻ)2 |
0,2192 |
0,7263 |
0,4324 |
0,4287 |
0,36 |
0,0217 |
0,0731 |
0,3982 |
0,7808 |
0,4967 |
0,1618 |
На диаграмме 2.1 изображен спектр выборки.
Диаграмма 2.1
P
X*102
Сравним данную выборку с нормальным, равномерным и экспонециальным законами распределения, для этого воспользуемся критерием Пирсона.
Для нормального распределения функция плотности рассчитывается по формуле:
(1)
Для равномерного распределения воспользуемся формулой:
(2)
Для экспонициального распределения теоритические вероятности рассчитаем по формуле:
(3)
В таблице 2.2 представленны расчеты теоритических значений вероятностей для разных видов распределений.
f(x) для норм. распр. |
0,006 |
0,019 |
0,049 |
0,099 |
0,156 |
0,194 |
0,188 |
0,143 |
0,085 |
0,04 |
0,015 |
f(x) для равн. распр. |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
0,091 |
f(x) для эксп. распр. |
0,046 |
0,042 |
0,039 |
0,036 |
0,033 |
0,031 |
0,028 |
0,026 |
0,024 |
0,022 |
0,02 |
Таблица 2.2
Значение хи квадрат рассчитывается по формуле:
.
Преобразуем исходную формулу для хи квадрат:
(4), где PHo
теоритическая вероятность.
По таблице найдем теоритическое χ2(0,05, 8)=15,5 для нормального и равномерного распределений, χ2(0,05, 9)=16,9 для экспонициального распределения. Расчетное χ2 для нормального распределения равно χ2=11*0,68=7,5. Расчетное χ2 для равномерного распределения равно χ2=11*6,57=72,3. Расчетное χ2 для экспоненциального распределения равно χ2=11*38=417,5. Т.к. эмпирическое значение χ2 для нормального распределения меньше теоретического, то мы имеем нормальный закон распределения.
Для таблицы 3 рассчитаем вероятности каждой из стоимостей пакета ценных бумаг по формуле Pi=ni/N, где N – количество элементов выборки, ni – частота для какого либо значения. Рассчитаем математическое ожидание по формуле µ=∑Pi*Xi. Математическое ожидание равно 11,7. Медиана равна 12. Среднее арифметическое равно 11,7. Найдем дисперсию по формуле D=∑Pi*(Xi-µ)2=2,4. Найдем средне квадратичное отклонение из формулы σ2=D. σ=1,5. Таблица 3.1 содержит исходную выборку, вероятности для каждой из цен за единицу пакета ценных бумаг и промежуточные данные для расчета дисперсии и математического ожидания.
Таблица 3.1
Хj 102 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
nj |
2 |
3 |
15 |
20 |
30 |
15 |
5 |
2 |
1 |
Pj |
0,0215 |
0,0323 |
0,1613 |
0,2151 |
0,3226 |
0,1613 |
0,0538 |
0,0215 |
0,0108 |
Pj*Xj |
0,172 |
0,2903 |
1,6129 |
2,3656 |
3,871 |
2,0968 |
0,7527 |
0,3226 |
0,172 |
Pj *(Xj-ϻ)^2 |
0,2874 |
0,2275 |
0,4423 |
0,0925 |
0,0382 |
0,2914 |
0,2954 |
0,2405 |
0,2029 |
На диаграмме 3.1 изображен спектр выборки.
Диаграмма 3.1
Сравним данную выборку с нормальным законом распределения, для этого воспользуемся критерием Пирсона. В таблице 3.2 представлены расчеты теоритических значений вероятностей для нормального распределения.
Таблица 3.2
f(x) для норм. распр. |
0,0117 |
0,0519 |
0,1435 |
0,2477 |
0,2666 |
0,179 |
0,0749 |
0,0196 |
0,0032 |
Эмперическое значение хи квадрат рассчитаем по формуле (4).
χ2=9*0,6=5,5.
Теоритическое значение χ2(0,05, 6)=12,6
Т.к. эмпирическое значение χ2 для нормального распределения меньше теоретического, то мы имеем нормальный закон распределения.
Для таблицы 4 рассчитаем вероятности каждой из стоимостей пакета ценных бумаг по формуле Pi=ni/N, где N – количество элементов выборки, ni – частота для какого либо значения. Рассчитаем математическое ожидание по формуле µ=∑Pi*Xi. Математическое ожидание равно 11,2. Медиана равна 11. Среднее арифметическое равно 11,2. Найдем дисперсию по формуле D=∑Pi*(Xi-µ)2=9,7. Найдем средне квадратичное отклонение из формулы σ2=D. σ=3,1. Таблица 4.1 содержит исходную выборку, вероятности для каждой из цен за единицу пакета ценных бумаг и промежуточные данные для расчета дисперсии и математического ожидания.
Таблица 4.1
Хj 102 |
3 |
5 |
7 |
8 |
9 |
11 |
13 |
14 |
16 |
17 |
19 |
21 |
nj |
1 |
5 |
10 |
20 |
30 |
40 |
35 |
15 |
10 |
5 |
3 |
1 |
Pj |
0,006 |
0,029 |
0,057 |
0,114 |
0,171 |
0,229 |
0,2 |
0,086 |
0,057 |
0,029 |
0,017 |
0,006 |
Pj*Xj |
0,017 |
0,143 |
0,4 |
0,914 |
1,543 |
2,514 |
2,6 |
1,2 |
0,914 |
0,486 |
0,325 |
0,12 |
Pj *(Xj-ϻ)^2 |
0,382 |
1,09 |
0,997 |
1,154 |
0,813 |
0,007 |
0,665 |
0,683 |
1,329 |
0,969 |
1,049 |
0,551 |
На диаграмме 4.1 изображен спектр выборки.
Диаграмма 4.1
Сравним данную выборку с нормальным законом распределения, для этого воспользуемся критерием Колмогорова. Рассчитаем теоритические значения вероятности по формуле(1) и занесем значения в таблицу 4.2.
Таблица 4.2
F(x) для норм. распр. |
0,004 |
0,018 |
0,052 |
0,076 |
0,1 |
0,128 |
0,108 |
0,085 |
0,039 |
0,022 |
0,005 |
0,0009 |
Рассчитаем максимальное значение
абсолютной величины разности между
эмпирической функцией распределения
и соответствующей теоретической функцией
распределения по формуле
,(5)
D=0,1. Рассчитаем λ по формуле:
λ=1,32.
λ(0,05)=1,36
Т.к. λ< λ(a) то гипотеза о нормальности распределения не противоречит данным.
Для таблицы 5 рассчитаем вероятности каждой из стоимостей пакета ценных бумаг по формуле Pi=ni/N, где N – количество элементов выборки, ni – частота для какого либо значения. Рассчитаем математическое ожидание по формуле µ=∑Pi*Xi. Математическое ожидание равно 12,7. Медиана равна 13. Среднее арифметическое равно 12,7. Найдем дисперсию по формуле D=∑Pi*(Xi-µ)2=1,6. Найдем средне квадратичное отклонение из формулы σ2=D. σ=1,2. Таблица 5.1 содержит исходную выборку, вероятности для каждой из цен за единицу пакета ценных бумаг и промежуточные данные для расчета дисперсии и математического ожидания.
Таблица 5.1
Хj 102 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
nj |
1 |
2 |
10 |
25 |
30 |
15 |
5 |
2 |
Pj |
0,011111 |
0,022222 |
0,111111 |
0,277778 |
0,333333 |
0,166667 |
0,055556 |
0,022222 |
Pj*Xj |
0,1 |
0,222222 |
1,222222 |
3,333333 |
4,333333 |
2,333333 |
0,833333 |
0,355556 |
Pj *(Xj-ϻ)^2 |
0,154864 |
0,166025 |
0,333827 |
0,149383 |
0,023704 |
0,267407 |
0,285432 |
0,237136 |
Диаграмма 5.1
Сравним данную выборку с нормальным законом распределения, для этого воспользуемся критерием Пирсона. Рассчитаем теоритические значения вероятности по формуле(1) и занесем значения в табллицу 5.2.
Таблица 5.2
F(x) для норм. распр. |
0,0042 |
0,0312 |
0,124 |
0,2657 |
0,3069 |
0,1911 |
0,0641 |
0,0116 |
Эмперическое значение хи квадрат рассчитаем по формуле (4).
χ2=8*0,35=2,8.
Теоритическое значение χ2(0,05, 5)=11
Т.к. эмпирическое значение χ2 для нормального распределения меньше теоретического, то мы имеем нормальный закон распределения.