6. Разложение функции в ряды Тейлора и Макло-рена. Приближенные вычисления с помощью рядов.

Если функция f(x) n-раз диффер. на интервале (a;x), то справедлива формула Тейлора.

Если при n Rn0  из (1) можно получить разложение функции f(x) в ряд Тейлора.

Если в ряду (2) положить а=0, то получим ряд Маклорена.

Из всего вышесказанного следует, что n-раз диф.

Функция f(x) можно разложить в ряд Тейлора, тогда и только тогда когда Rn0 при n а в ряды Маклорена тогда и только тогда, когда

7. Ряды Фурье для периодических функций c периодом T=2. Основные определения.

Если f(x) периодическая функция с периодом 2 непрерывная на отрезке [-;] и кроме того функция f(x) является суммой равномерно сходящегося тригонометрического ряда, тогда коэффициенты полученные по формулам

называются коэф. Фурье.

Тригонометрический ряд коэф. Которого получены по вышеследующим формулам называется радом Фурье.

Для ряда Фурье выполняется соответствие. Знак равно можно ставить только в том случае если выполняются определённые условия.

8. Достаточные условия разложимостифункции в ряд Фурье (две теоремы).

Теорема Дирихле:

Если функция f(x) периодическая с периодом 2 непрерывна на [-;] можно разбить на конечное число отрезков, внутри каждого из которых функция f(x) сходится при любом х0, причем в т. непрерывности его сумма равняется f(x) , а в т. разрыва первого рода его сумма равна (f(x-0)+f(x+0))/2, т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.

Опр. функция f(x) удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле (кроме условия периодичности)

Называется кусочно-монотонной на [-;].

Теорема №2:

Если функция f(x) периодическая с периодом 2, её производная f `(x) непрерывна на [-;] или имеет конечное число т. разрыва первого рода на этом отрезке, то (тогда продолжение в теореме Дирихле)

Опр. Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы (2) (кроме усл. периодичности) называется кусочно гладкой на [-;].

9. Ряд Фурье для четных и не четных функций с периодом 2.

четн х четн = четн

нечетн х нечетн =четн

четн х нечетн = нечетн

1) если f(x) – нечетн.

2) если f(x)- четная

Змечание:

Если f(x) задана на отрезке [0;], кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на [0;], то её можно бесчисленным кол-вом способов разложить в ряд Фурье по косинусам или синусам если продолжить её на [-;0] четным или нечетным образом, т.е.

f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x).

10. Ряд Фурье для функций любого периода. (T=2l).

Пусть f(x) –периодическая функция на [-l;l] с периодом T=2l кусочно-гладкая или кусочно-монотонная сделаем замену переменной.

x=at (a-const, t-перем.)

 период функции T=2l/a

f(at) – разложить в ряд Фурье на заданном отрезке.

Для этого нужно подобрать число a таким образом чтобы период функции равнялся 2.

2l/a=2 a=l/

Периодическая функция заданная на [-;] с периодом T=2, кусочно гладкая или кусочно монотонная 

Общее замечание:

11. Ряд Фурье для четных и нечетных функций с периодом Т=2l. 1) Пусть f(x) – четная периодическая ф-ция на [-l, l] с периодом T=2l кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на [-l, l] => 2) Нечетная периодическая ф-ция на [-l, l]

с периодом T=2l =>