2.2 Вычисление параметров собственных колебаний

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных к массе э/д.

Рисунок 3 - Единичные эпюры

Вычислим коэффициенты матрицы податливости при помощи построенных эпюр по следующей формуле:

(3.2)

Если принять и m₀=m, то матрица относительных податливостей и матрица относительных масс соответственно примут вид:

и

Общий вид частотного уравнения:

(3.3)

где и . Его корни:

(3.4)

в данном случае составят λ₁=12,099 и λ₂=1,901. Собственные частоты:

(3.5)

примут значения ω₁=6,64 с^-1 и ω₂=16,752 с^-1.

Из уравнений

при (заданы при построении эпюр) получим остальные компоненты векторов главных форм колебаний:

Сами векторы: A⁽¹⁾=(1 -0,099)^T A⁽²⁾=(0,099 1)^T.

Рисунок 4 – Направления главных форм колебаний

Проверка подтверждает их ортогональность:

3 Расчет спектра собственных колебаний по уточненной схеме

Для начала сосредоточим массы стержней в их средних и крайних точках, причем средней точке каждого стержня придадим половину его массы, а крайним – по ¼ этой величины. Обозначим эти массы согласно рисунку 5.

Рисунок 5 - Расположение и обозначение сосредоточенных масс

Подсчитаем величину каждой массы m_i и занесем значения в таблицу 1.

Таблица 1 – Значения сосредоточенных масс

Номер массы	Величина, кг
1	1529+8,798=1537,798
2	17,595
3	8,798*2+17,595=35,19
4	17,595
5	8,798+17,595=26,393
6	35,19
7	35,19
8	17,595
9	17,595
∑	1740,141

Выполним проверку. Как видно из рисунка 5, суммарная длина всех стержней рамы составляет 6L. Тогда масса всей рамы вместе с электродвигателем составит , что согласуется с таблицей 1.

Пронумеруем динамические степени свободы системы с сосредоточенными массам, и, учитывая наложенные связи, направим соответствующим образом оси обобщенных координат (см. рисунок 6).

Рисунок 6 – Направления осей обобщенных координат

Матрица масс для такой системы (при данной нумерации сосредоточенных масс и динамических степеней свободы) будет иметь вид:

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных к соответствующим сосредоточенным массам по направлениям обобщенных координат (рисунки 7, 8, 9).

Рисунок 7 – Единичные эпюры , ,

Рисунок 8 - Единичные эпюры ,

Рисунок 9 - Единичные эпюры ,

Коэффициенты податливости системы δ_ij определим на ЭВМ.

Проконтролируем результаты расчетов сравнением некоторых _i,j, вычисленных вручную и на ЭВМ, а также используя свойство взаимности коэффициентов _i,j = _j,i . Например, в результате ручного расчета получено значение коэффициента ₁₁ = ₀ = 3,99910^-6 м/Н. Расчет на ЭВМ дает значение коэффициента 410^-6 м/Н. Разница объясняется учетом влияния продольных деформаций стержней в машинном расчете, а также погрешностями округления. Ниже в таблице 1 приведены значения коэффициентов в ручном и машинном расчетах (необходимо делать анализ размерностей).

Таблица 1

	Ручной расчет	Расчет на ЭВМ
11	3,99910-6	410-6
22	0,66510-6	0,66610-6
21	-0,33110-6	-0,33310-6

получим следующий вид матрицы относительной податливости (обозначена ниже как D1):

Матрицу C определим выражением

(4.1),

где , и вычислим ее собственные числа λ. Первые три собственных числа: λ₁=3,317*10⁵, λ₂=4,747*10⁴, λ₃=3,353*10³. Частоты собственных колебаний найдем так:

(4.2).

Результаты расчетов: ω₁=6,272 с^-1, ω₂=16,58 с^-1, ω₃=62,383 с^-1. Первые две частоты незначительно отличаются от найденных в п.3.2 в меньшую сторону вследствие учета масс стержней.

Собственные формы колебаний определим по формуле

(4.3),

где Bi - собственные векторы матрицы С. В данном случае собственные формы примут вид:

С помощью данных векторов построим первые три формы собственных колебаний рамы (рисунок 10).

Рисунок 10 - Первые три формы собственных колебаний рамы