Показательная (экспоненциальная) зависимость
Достаточно широкий класс экономических показателей характеризуется приблизительно постоянным темпом относительного прироста во времени. Этому соответствует следующая форма зависимости:
2.1
Действительно,
если пренебречь влиянием случайной
компоненты
(т.е.
),
то непосредственные расчеты дают:
Рис. 4
Рис.
4
Таким образом,
относительный прирост
за единицу времени (т.е. за единицу
«количества»
)
определяется выражением
(в долях
).
Переход к новой
переменной
позволяет свести исследуемому зависимость
к линейному виду:
,
где
.
Для МНК-оценок используют
.
2.2
,
линеаризация искомой зависимости
достигается с помощью следующих
преобразований переменных
,
.
Где
Рис. 5 Рис. 5
Соответственно вектор-столбец и матрица
Л огистическая кривая
,
Кривая
имеет две горизонтальные асимптоты
и точку перегиба (
).
Линеаризация этой зависимости производится
с помощью перехода к переменным
,
.
Соответственно вектор-столбец и матрица,
участвующие в формулах МНК определяются
следующим образом:
Зависисмость степенного типа
Очевидно при
переходе к переменным
,
,
где
1 1
Рис. 6 Рис. 6
Важную роль
зависимости степенного типа играют в
задачах построения и анализа
производственных функций, функций
спроса. При анализе степенных регрессионных
зависимостей содержательную интерпретацию
получает коэффициент
как коэффициент эластичности.
Зависимость логарифмического типа
1 1
Рис. 6 Рис. 6
Кривые на рисунках
6-а, 6-б проходят через точку
и имеют в качестве вертикальной асимптоты
ось
.
Переход к линейному виду зависимости
осуществляется с помощью логарифмического
преобразования объясняющей переменной
.
Подбор линеаризующего преобразования: подход Бокса-Кокса.
Выше был рассмотрен набор зависимостей, поддающихся линеаризации с помощью подходящих преобразований анализируемых переменных. Но решение вопроса о том, к какому именно из перечисленных линеаризуемых типов зависимостей следует отнести конкретный случай, является задачей не простой. Можно, конечно, действовать методом «проб и ошибок»: последовательно построить по имеющимся исходным статистическим данным каждую из набора линеаризуемых моделей, а затем выбрать из них наилучшую (например, с максимальным коэффициентом детерминации).
Английские статистики Г. Бокс и Д. Кокс предложили более формализованную процедуру подбора линеаризующего преобразования. Их метод основан на предположении, что искомое преобразование принадлежит определенному однопараметрическому семейству преобразований вида:
,
,
(1)
Точнее, гипотезу
можно сформулировать следующим образом:
существует
такое положительное или отрицательное
число
,
что искомая регрессионная зависимость
(2 или 2а)
будет удовлетворять всем требованиям
КЛММР.
(2)
(2а)
Замечание 1:
преобразования вида (1) применяются
обычно к переменным, принимающим только
положительные значения. В противном
случае, вначале подбирают «сдвиговые»
константы
,
которые обеспечивают положительность
значений
и
(
),
а затем к сдвинутым значениям переменных
применяют данное преобразование, т.е.:
,
,
(1а)
Замечание 2:
семейство
степенных преобразований вида (1 и 1а)
весьма широко. При
модели (2) и (2а)
являются линейными относительно
и
.
При
имеем степенную зависимость между
и
,
поскольку
и
.
При других
значениях
уравнения будут связывать между собой
какие-то степени исходных переменных.
Таким образом, подбор линеаризующего преобразования анализируемых переменных сводится к оценке параметра по имеющимся в нашем распоряжении исходным статистическим данным.
Эта
проблема решается с помощью метода
максимального правдоподобия, который
заключается в максимизации функции
правдоподобия:
.