Метод дифференцирования закона функционирования

Метод дифференцирования состоит в том, что параметры, имеющие

первичные погрешности, принимаются переменными аргументами закона

функционирования устройства и по ним производится операция

дифференцирования. Первая производная и будет искомой передаточной

функцией. Этот метод достаточно прост и позволяет получать полную

передаточную функцию для измерительной цепи устройства. Недостатком

его является невозможность получения передаточных функций для

«нулевых» погрешностей – погрешностей параметров, которые влияют на

точность устройства, но не присутствуют в законе функционирования.

В качестве примера рассмотрим определение передаточных функций

первичных ошибок устройства отклонения лучей (рис.1). Оно содержит

четыре элементарных преобразователя, законы функционирования которых

известны. Комбинируя их, получаем закон функционирования устройства (1),

анализ которого показывает, что методом дифференцирования можно

определить передаточные функции для погрешностей, обусловленных

ошибками периода кулачка и длины рычага. Результаты дифференцирования

приведены в таблице 1.

Хотя число делений шкалы тоже входит в закон функционирования, но

дифференцировать по этому параметру нельзя, т.к. полученная частичная

погрешность получится близкой к самой задаваемой входной величине. Это

связано с тем, что погрешность деления шкалы является переменной

нерегулярной погрешностью. Так как неизвестно, как она ведет себя при

работе устройства, принято принимать в качестве первичной ошибки ее

максимальное значение, подставляя его на вход содержащего эту

погрешность элементарного преобразователя. К погрешностям такого типа

относятся погрешность радиус-вектора кулачка и погрешность шага винта.

Метод разложения закона функционирования в степенной ряд

Метод разложения в степенной ряд обычно применяют для нахождения

передаточных функций теоретических погрешностей, обусловленных

заменой точных нелинейных законов функционирования их приближенными

линейными выражениями. В качестве примера рассмотрим ошибку,

обусловленную заменой в законе функционирования одноплечего

тангенсного рычага (рис.1) нелинейной функции arctg(x / r) на линейную

X / r . Разлагая arctg в степенной ряд, ограниченный первыми двумя его

членами (практика показывает, что этого достаточно) и вычитая из него

упрощенный ЗФ, получают передаточную функцию (2).

Пример 2 позволяет оценить теоретическую погрешность двухплечего

рычажного механизма, у которого входное плечо выполнено по синусной

схеме, а выходное – по тангенсной. Это приводит к тому что линейный закон

функционирования такого рычага (3) принимает нелинейный вид (4).

Разлагая функцию (4) в ряд и вычитая из него (3) получаем передаточную

функцию (5).

Векторно-матричный метод

Векторно-матричный метод наиболее широко используется при расчете

передаточных функций погрешностей зеркально-призменных систем и

погрешностей угломерных оптических приборов. Он весьма сложен и

требует применения ПК для увеличения скорости проведения расчетов и

снижения их трудоемкости. Определим этим методом влияние

коллимационной погрешности зеркала визирного устройства (рис. 3).

Коллимационная погрешность K - неперпендикулярность нормали

отражающей поверхности зеркала к собственной оси качания. Эта

погрешность приводит к тому, что при качании зеркала его нормаль

движется не в плоскости, а описывает конус, в результате появляются

погрешности визирования вертикальных и горизонтальных углов (для

установки, изображенной на рис. 1 появится дополнительная ошибка угла

отклонения луча, т.к. призма АР-90 является аналогом плоского зеркала).

Для оценки этих погрешностей введем систему координат так, чтобы ее

вертикальная ось Z совпадала с падающим на зеркало лучом, а ось X – с осью

качания зеркала. При повороте зеркала относительно оси X на угол  и

относительно оси Y на угол K орт нормали к зеркалу (6) можно будет

выразить через произведение матрицы угла поворота, матрицы

коллимационной погрешности и орта нормали в исходном состоянии. Она

дает нам проекции орта на координатные оси.

Орт отраженного луча (7) можно определить через произведение

матрицы действия плоского зеркала и орта падающего луча. Подстановка

проекций из (6) в (7) позволяет получить проекции орта отраженного луча

при наличии коллимационной погрешности на оси X и Z.

Погрешности оценки горизонтального и вертикального углов можно

получить, вычислив разность проекций из (7) при наличии и отсутствии

коллимационной ошибки (8). Анализ полученных выражений показывает,

что наибольший увод луча происходит в горизонтальной плоскости.