2. Теорема Котєльнікова.

3. Побудова ортонормованого базису Котєльнікова. Умова оргтонормування.

Как было показано выше, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащих семействам вида

где

являются ортогональными.

Путем соответствующего подбора коэффициентов , можно добиться, чтобы норма каждой из данных функций была равна единице. Таким образом будет создан ортонормированный базис, позволяющий разложить сигнал любой формы с ограниченным спектром в виде суммы идеальных НЧ – сигналов, взятых с определенным шагом задержки.

Для выбора коэффициента рассмотрим нулевую базисную функцию, так как от выбора функции коэффициент нормировки меняться не должен.

Тогда из условия нормировки.

На основании того, что норма данной функции должна быть равна единице , то нормировочный коэффициент .

Бесконечная совокупность функций вида

образуют ортонормированный базис Котельникова в мнимом пространстве НЧ сигналов со спектрами ограниченными сверху частотой . Каждая функция является отсчетной функцией ряда Котельнкова.

4. Ряд Котєльнікова. Принципова важливість ряду Котєльнікова.

любой сигнал , ограниченный сверху частотой , представленный дискретными значениями этого сигнала, взятыми через равные промежутки времени с шагом может быть представлен рядом Котельникова.

-Ряд Котельникова.

Принципиальная важность ряда Котельникова заключается в том, что он дает решение как прямой задачи – выбора интервала дискретизации , так и обратной задачи – восстановление сигнала по заданной последовательности его дискретных отсчетов. В соответствии с последним выражением процедура восстановления сигнала сводится к суммированию бесконечного числа функций Котельникова с весовыми коэффициентами .

Это означает, что точное восстановление сигнала с ограниченным спектром возможно только при бесконечной протяженности этого сигнала во времени. Реальные сигналы ограниченны во времени и обладают вследствие этого теоретически неограниченными по частоте спектрами. Однако вне некоторой полосы частот составляющие реальных спектров обладают малой энергией, по сравнению с энергией всего сигнала . Такие сигналы можно приближенно считать ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова.

Если у сигнала длительностью ограничить спектр по частоте то в соответствии с теоремой Котельникова можно образовать число отсчетов, равное .

Число дискретных отсчетов сигнала называют базой сигнала или числом степеней свободы. Сигнал, ограниченный по времени приближенно описывается рядом Котельникова, состоящим из конечного числа членов.

При суммировании членов ряда сигнал точно воспроизводится только в точках отсчетов . В промежутках между отсчетами возникает ошибка аппроксимации, которая подчинена двум составляющим.

1. Искусственным ограничением спектра из расчета спектральных составляющих находящихся выше частоты .

2. Взятием конечного числа дискретных отсчетов.