3. Основні теореми диференціального числення для функції однієї змінної.

1. Теореми Роля і Лагранжа.

Нижче ми будемо говорити, що функція диференційована на множині Х, якщо вона диференційована в кожній точці множини Х.

Теорема Роля. Нехай дійсна неперервна на відрізку функція диференційована на інтервалі . якщо при цьому , то існує , така, що .

Доведення.

Якщо , то теорема доведена. Розглянемо функцію . Тоді задовольняє умови теореми і і не є константою. на буде мати значення або >0, або <0 . Розглянемо перший випадок, тоді всередині відрізку вона обов’язково має максимум. Нехай точка в якій приймає максимальне значення. Тоді Аналогічно отже

Наступні дві теореми довести самостійно або знайти доведення у [1,2].

Теорема Лагранжа. (формула кінцевих приростів)

Нехай функція неперервна і диференційована на інтервалі . Тоді така, що .

Теорема Коші. Нехай функції і неперервні на та диференційовані на . Якщо , то існує така, що .

4. Похідна вищого ґатунку. Формула Тейлора.

Означення. Якщо функція має похідну і функція має похідну в точці х, то - називається похідною -ого порядку від у точці х, а функцію - раз диференційованою у точці х.

Теорема. Нехай функція неперервна та +1 раз диференційована на інтервалі . Тоді така, що

Зауваження. Часто це записують у вигляді:

Доведення.

Розглянемо функцію

де визначено так, щоб . Потрібно знайти . Оскільки , то для визначення , застосуємо теорему Роля.

, що ,

,

Підставляючи в отримаємо необхідний результат.

Приклади.

1. .

2.

Зазначимо, що залишковий член у формулі Тейлора є , отже нижче формулу Тейлора будемо застосовувати у вигляді

.

Практичне заняття №1 Тема: Похідна. Диференційованість функції.

Основні відомості:

1. Визначення похідної, диференційованості функції.

2. Зв’язок диференційованості з похідною та неперервністю.

3. Основні властивості похідної, диференціала.

4. Таблиця похідних.

Задачі:

Знайти, використовуючи визначення, похідну:

1. , .

Знайти, використовуючи визначення, диференціал функції:

2. ; .

Використовуючи основні властивості і таблицю похідних знайти похідні функцій:

1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; .

Вказівка: використовувати логарифмічну похідну.

Знайти диференціал функції:

4. ; ; .

5. Довести, що похідна парної функції є функція непарна.

6. Довести, що похідна періодичної функції є знов функція періодична.

7. Побудувати приклад неперервної функції, яка не має похідної в точках: .

Завдання для самостійної роботи.

Обчислити похідні:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Знайти диференціали функцій:

11. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. Довести, що похідна непарної функції є функція парна.

20. Якщо має, а не має похідної в деякій точці, то функція не має похідної в цій точці.

21. Знайти , якщо , де неперервна при .

22. Показати, що функція , де - неперервна функція та , не має похідної в точці .

Дослідити на диференційованість:

24.

25.