5. Интегралы группы четырёх.

1) Разложим знаменатель, квадратный трехчлен:

2. Введем новую переменную

3. Тогда знаменатель будет иметь вид:

Рассмотрим вначале случай, когда . При этом . Следовательно

Или, возвращаясь к старым переменным

Преобразовывая, получим:

Теперь рассмотрим случай, когда . Квадратный трехчлен представим в виде:

Следовательно

Опять возвращаясь к старым переменным, получим

Преобразовывая, найдем:

Рассмотрим теперь второй интеграл.

Или

Рассмотрим теперь третий интеграл. Используя разложение квадратного трехчлена, и, заменяя переменную , запишем:

Полученное выражение представим в виде двух интегралов

В дифференциал первого интеграла внесем множитель

Возьмем интегралы

Вернемся к старым переменным

Рассмотрим теперь последний интеграл . Аналогично, Используя разложение квадратного трехчлена, и, заменяя переменную , запишем

Полученное выражение также представим в виде двух интегралов

В первом интеграле под знак дифференциала введем , взяв второй интеграл и возвращаясь в нем к переменной , получим

Взяв первый интеграл, получим окончательно

6. Интегрирование по частям.

Известно, что дифференциал от произведения равен:

Проинтегрируем полученное равенство

Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:

Меняя местами слагаемые, получим:

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Положим ; .

Тогда

7. Интегрирование рациональных дробей.

Дробью называется выражение вида:

Дробь - правильная, если . Дробь - не правильная, если .

Для того, чтобы проинтегрировать дробь надо разложить ее на простейшие дроби.

Простейшие дроби:

1.

2.

3.

4.

Интеграл от первой дроби - табличный интеграл:

1.

Интеграл от второй дроби - также табличный:

2.

3. Интеграл от третьей дроби см. интеграл группы четырёх.

4. Интеграл от четвертой дроби также см. интеграл группы четырёх.

Рассмотрим теперь дробь более общего вида.

Теорема. Пусть - правильная дробь, причем . Тогда эту дробь можно представить в виде:

Доказательство

Далее, выберем величину равной: . Тогда получим, что

И если , то

То есть является корнем многочлена . В этом случае многочлен можно представить в виде:

и, следовательно, далее запишем:

что и тр. док.

Следствие. Используя эту логику и дальше, можно записать:

Теорема.

Пусть - правильная дробь, причем . Тогда можно записать:

Следствие.

Таким образом, дроби общего вида сводятся к простейшим дробям.

Пример 11. Взять интеграл

Сделаем замены:

В результате чего интеграл преобразуется к виду

Подынтегральное выражение разложим на простейшие дроби

Найдем выражение для коэффициентов , для чего правую часть полученного выражения приведем к общему знаменателю:

Дроби равны, знаменатели равны, значит должны быть равны и числители

Сгруппируем правую часть по степеням :

Полученное уравнение эквивалентно системе уравнений

Решая эту систему, получим:

Следовательно:

Интегрируя, получим:

Возвращаясь к старым переменным, получим:

Преобразовывая, получим окончательно: