7) Связь между напряженностью и потенциалом. Эквипотенциальные поверхности.

Электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины φ. Е_l = -dφ|dl. Таким образом, проекция вектора Е на направление l равна скорости убывания потенциала при перемещении вдоль этого направления. Взяв в качестве направления l координатные оси x,y,z, получим для компонент вектора Е: . Соответственно выражение для Е имеет формулу: Е= -gradφ, согласно которой напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение имеет вид: φ(x,y,z) = const. При перемещении по касательной к эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменяется. Согласно формуле Е_l = -dφ|dl проекция вектора Е на касательную к поверхности равна нулю. Следовательно, вектор Е направлен по нормали к поверхности.

8) Диполь. Поле диполя в вакууме.

Электрическим диполем называется система двух отличающихся только знаком точечных заряда +q и –q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстояниями до тех точек, в которых рассматривается поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.  Вектор

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом, а вектор   – плечом диполя. Если длина   пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным. Вычислим электрическое поле электрического точечного диполя. Поскольку диполь точечный, то безразлично в пределах точности расчета от какой точки диполя отсчитывается расстояние r до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения А лежит на продолжении оси диполя (рис. 1.13). В соответствии с принципом суперпозиции для вектора напряженности, напряженность электрического поля в этой точке будет равна

,

9) Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности и потенциала электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Когда заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое тела, распределение заряда характеризуется с помощью поверхностной плотности σ, которая определяется выражением σ=dq/dS. Под dS подразумевается физически бесконечно малый участок поверхности, dq – заряд, находящийся на этом участке. Пусть плоскость бесконечных размеров заряжена с одинаковой всюду поверхностной плотностью. Следовательно, напряженность поля может быть направлена только по нормали к плоскости. Поэтому линии поля представляют собой перпендикулярные к плоскости прямые линии, густота которых вследствие однородного распределения заряда всюду одна и та же. На участке ΔS поверхности сосредоточен заряд, равный σΔS. Согласно формуле N= q/ ε0 на этом заряде начинаются ΔN=σΔS/ ε0 линий, половина которых идет в одну сторону от плоскости и половина – в другую. Слодовательно, густота линий, а значит и напряженность поля, равна ΔN/2ΔS=σ /2ε0: E= σ/2ε0.

10) Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности и потенциала электростатического поля равномерно заряженной сферы.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R,тo внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2),   , откуда (82.3)

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).