4. Задано наблюдение (не обязательно выборка) построить доверительный интервал.

Теория:

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией

Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , построим доверительный интервал для математического ожидания с уровнем доверия .

ДИ для с уровнем доверия :

где – является квантилью уровня распределения

Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с известным математическим ожиданием.

ДИ для с уровнем доверия :

где и – квантили уровней и распределения

Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием.

( ; )-ДИ, где ,

или ,

где и являются квантилями уровней и распределения , является доверительным интервалом для дисперсии с уровнем доверия .

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.

,

в котором , и – квантиль уровня распределения Стьюдента с степенью свободы, является доверительным интервалом для с уровнем доверия .

Задача (семинары): Выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией.

Построить ДИ для с уровнем доверия =0,98, n=10; =0,9, n=10; =0,98, n=5;

=

( ; ) –ДИ, и являются квантилями уровней и распределения ,(значения и определяем по таблице)

1) =0,98, y1=2,09, y2=21.66 -> (0.42 ;4.31 )

2) =0,9, y1=3.33, y2=16.92 -> (0.55 ;2.7 )

3)n=5, y1=0.55, y2=15.09 -> (0.27 ;7.27 )

Задача(ДЗ, где задана не выборка): Найти 90% ДИ для мат.ожидания времени безотказной работы электрической лампы, если , число наблюдений n=100, СКО=102

Решение: ДИ для мат. ожидания: , где – является квантилью уровня распределения

в нашем случае =500; (СКО)=102; n=100 => Д

5. Построить критерий хи-квадрат для проверки простой гипотезы о вероятностях.

Теория:

Гипотеза заключается в том, что неизвестные вероятности равны заданным вероятностям. : , , …, .

Для ее проверки используем критерий хи-квадрат со статистикой критерия:

Проверка гипотезы :

1) по заданному уровню значимости определяется квантиль уровня распределения ;

2) по реализации наблюдения (числовым данным, полученным в результате проведения эксперимента) вычисляется значение статистики ;

3) если , тогда гипотеза отклоняется, если , тогда гипотеза принимается.

Задача(семинары): Зарплата [0,50] разделена на 5 равных интервалов.

Опрошено 100 человек, результаты (№интервала:1-5,кол-во ):

1	2	3	4	5
16	21	25	22	16

Проверить гипотезу о равномерном распределении зарплаты:

Построение интервалов:

1. 

2. Статистика критерия:

Следовательно

3. Если верна, то при больших n имеет распределение близкое к

Ответ: Гипотеза принимается при уровне значимости 0.54