12) Похідна складеної функції

Похідна оберненої функції

Похідна функції, заданої параметрично:

Похідна неявно заданої функції

Якщо залежність між  та  задана в неявній формі , причому надалі будемо вважати, що  диференційовна функція, то для знаходження похідної  достатньо:

а)      знайти похідну по  від лівої частини рівняння, , враховуючи, що  є функцією ;

б)      прирівняти цю похідну до нуля

в)      розв’язати отримане рівняння відносно

Логарифмічне диференціювання

Означення 1. Логарифмічною похідною функції називається похідна від логарифма цієї функції .

Для знаходження похідної степенево-показникової функції  має сенс застосовувати логарифмічне диференціювання.

Нехай . Якщо спочатку прологарифмувати за основою  обидві частини рівності:  , а потім продиференціювати, враховуючи, що  є функцією , то отримаємо

Звідки  або, якщо згадати вигляд , то

13) Якщо функція  має похідну  в точці , то вираз  називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . Тобто,

Скористаємося геометричним змістом похідної: .

З трикутника  маємо:  або . Але , тому .

Отже, диференціал функції  в точці  визначає приріст ординати дотичної до кривої в точці  при переході від абсциси  до абсциси

Застосування диференціала в наближених обчисленнях

З означення похідної функції в точці  випливає, що її приріст  можна подати у вигляді: , де , якщо .

Отже, при малих  має місце наближена рівність:

, тобто .

Звідки

Формула дозволяє знаходити значення функції  в точці , якщо відомі значення  і , з точністю , ,

де .

Властивість інваріантності форми диференціала

Теорема 3.5. Якщо маємо складену функцію , де , причому  і  диференційовні функції, то

.

Дійсно, , де .

Зауваження. Форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежною змінною, чи функцією цієї змінної.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов’язаний з dx формулою: де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

14. Похідні та диференціали вищих порядків

Нехай функція  диференційовна на проміжку X, а   її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної  називається похідною другого порядку (second-order derivative) функції  і позначається одним із символів:

Так у фізиці, якщо   закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то  є прискоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t. Аналогічно  і т. д.

Взагалі похідною n-го порядку від функції  називається похідна від похідної -го порядку і позначається , або , або

Зауваження. При , похідну n-го порядку позначають відповідно ; при  позначають:  або .

Формула Лейбніца. Якщо функції ,  мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:

.

Диференціалом другого порядку (second differential) функції  в точці x називається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається ;

За означенням маємо

позначають . Таким чином . 

Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається ), n=2,3,... називається диференціал від диференціала порядку  за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости  незалежної змінної x. Тобто . При цьому справедлива формула:

15 Теорема Ферма. Если функция у = f (х),  определенная в интервале (а ; b), достигает в  некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует  производная f ′(с), то f ′(с) = 0.  Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс

 Теорема Ролля. Если функция у = f (х),  непрерывная на отрезке [а ; b] и  дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0. Геометрически эта теорема означает  следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что  Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х)  между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.  

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.  

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];  

2)  дифференцируемы в интервале (а ; b);  

3) g'(x) ≠ 0 в этом  интервале,  

то в интервале (а ; b) существует  такая точка с, что имеет место равенство 

 

16 формула Тейлора

        

        

        изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) → 0 при х → а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x) можно представить в видах:

        

        ,

        где ξ и ξ₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а Соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0: