Вопрос 5

Алгебраическим дополнением элемента   матрицы   называется число

,

где   — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Чтобы найти алгебраические дополнения матрицы,необходимо определить соответствующие миноры ее элементов с определенным знаком. Знак зависит от того, в какой позиции стоит элемент. Если сумма номеров строки и столбца – четное число, то алгебраическое дополнение будет положительным числом, если нечетное – отрицательным. Т.е.: Aij = (-1)^(i+j)•Mij.

Вопрос 6(нет алгоритма)

 (союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Исходная матрица:

Где:

•  — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;

•  — алгебраические дополнения исходной матрицы;

•  — элементы исходной матрицы.

Вопрос 7

   Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной матрице A называется матрица  A^-1, для которой справедливы два равенства:  AA^-1= A^-1A=E, где E- единичная матрица . Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие det A  . При этом обратная матрица определяется следующим образом:

             .

         Для получения обратной матрицы все элементы матрицы A  заменяют их алгебраическими дополнениями  A_ij , а затем полученную матрицу транспонируют и умножают на число, обратное det A .          Союзной или присоединенной к матрице A  называют матрицу  , которая получается из матрицы A, если все ее элементы заменить соответствующими алгебраическими дополнениями A_ij и к полученной матрице применить операцию транспонирования .           Если -  союзная матрица, то  .

Вопрос 8

Ранг матрицы - наибольший из порядков ее миноров не равных нулю. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: rang А, r. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

1. Ранг матрицы определяется целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m, n.

2. Ранг матрицы равен нулю, если матрица нулевая.

3. Для квадратной матрицы n-го порядка r = п тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров. Если все миноры определенного порядка матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а всё миноры порядка k + 1 равны нулю или не существуют, то r= k.

Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,...,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).