§12. Основные определения.

Статические моменты сечения – это интегралы вида:

[ L³ ]

Центром тяжести относительно осей х и у, называется точка С (х_с, у_с), которая вычисляется по формуле:

Если оси х и у проходят через точку С, то х_с=0 и у_с=0, и отсюда следует, что Sx =0, Sy =0.

Декартова система координат

Полярная система координат

Определим статический момент полукруга

x_c=0 ( в силу симметрии относительно оси у)

y_c=?

Осевыми (экваториальными) моментами инерции сечения называются интегралы вида:

Если сечение площадью F можно представить в виде суммы нескольких замкнутых областей, то статические моменты…

Полярный момент инерции сечения – интеграл вида:

I_p0

Центробежный момент инерции сечения

Размерность всех моментов инерции

Главными осями инерции сечения называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых

Следствие: если одна из осей является осью симметрии сечения, то и отсюда следует, что обе оси являются главными.

Главными центральными осями инерции сечения называются оси, проходящие через его центр тяжести.

30 Теорема Штейнера о параллельном переносе осей.

Рассмотрим сечение произвольной формы площадью F. Через его центр тяжести проведем декартовы оси координат.

По чертежу видно, что S_x=0, S_y=0. Тогда момент инерции относительно новых осей х₁ и у₁ будут определяться так:

31 Моменты инерции простых сечений.

Центр тяжести совпадает с центром координат

32 Изменение моментов инерции при повороте осей.

33 Главные моменты инерции, главные оси инерции.

Наиболее практический интерес представляет собой главные центральные оси относительно которых центральный момент инерции равен 0.Е сли оси U, V являются главными центральными осями, то центробежный момент инерции должен быть равен 0.

Получаемые отсюда два значения, α отличаются на 90 и определяют положения главных центральных осей.

I_x> I_y – первый знак (верхний);

I_y> I_x – нижний знак.

Т.к. оси U и V – главное и центробежные моменты U и V = 0, то

34 Моменты сопротивления сечения.

Осевым моментом сечения называется отношение осевого момента инерции к максимальному расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки противоположной оси.

Полярным моментом сопротивления сечению называется отношение полярного момента инерции к максимальному полярному радиусу сечения.

а) Для прямоугольного сечения

б) Для круглого сечения:

в) Для кольцевого сечения:

35 Кручение.

Кручение – такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор, отличный от нуля, называемый крутящий момент.

М_кр или М_z

Пример конструкции, работающей на кручение – вал.

φ – угол кручения

Закон Гука для кручения.

τ =σ*γ

- до деформации -после деформации

Опыт показывает, что расстояние между скручиваемыми волокнами вала не изменяется, продольные линии сетки приобретают винтовые формы, винтовые углы сетки искажаются как в случае сдвига.

Следствия:

выделяемый элементарный объем материала находится в условиях чистого сдвига, радиусы остаются прямыми и неизменной длины.

Нижележащие слои (глубжележащие (ближе к центру)) испытывают меньшую деформацию, а максимума деформация достигает по образующей поверхности цилиндра (R – max).

dS=ρ*dφ

γ~tgγ=dS/dz

- относительный угол закручивания

G – модуль сдвига

, - жесткость при кручении

[G J_P]= =H*M²

G_стали=0,8 МПа (Е_стали=2*10⁵МПа)

G<E (всегда)

формула для определения касательных напряжений при кручении