7. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

/

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается

Скалярное произведение двух векторов численно равно работе некоторой силы при перемещении тела.

Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Формула для нахождения косинуса угла между двумя ненулевыми векторами:

Если вектора и заданы своми координатами , ,то их скалярное произведение вычисляется по формуле

Пример:Даны три точки А(1,4,7) Б(2,5,9) С(2,0,5)

=(1,1,2);

Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется левой.

Векторным произведением векторов и называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ,

приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам и направлен так что векторы образуют правую тройку векторов.

Геометрический смысл

,где а и б, S-площадь параллелограмма

Момент силы относительно некоторой точки 0,есть векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы :

Два ненулевых вектора а и б коллинеарны тогда и только тогда, когда их

Произведение а(1.2.3) и б(4.5.6)

Смешанное произведение

( -Сначала векторно, потом скалярно

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,б,с, взятому со знаком +,если тройка правая ,со знаком -,если тройка левая. Если же они компланарны, то оно равно 0.

Объем треугольной пирамиды образованной векторами а,б,с(черточки сверху),равен V=

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

8.Прямая на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки

Общее уравнение прямой:Ax+By+C=0

Уравнение прямой в отрезках: or

Угол между двумя прямыми: or

Расстояние от точки до прямой

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1). Решение:

х-2у+3=0.

9.Эллипс, гипербола и парабола. Их характеристики.

9.Упрощение общего уравнения кривых второго порядка на плоскости

 При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат

Пусть Оху - "старая" система координат, а О'х'у' - "новая" система координат. Пусть произвольная точка М имеет координаты (х, у) в "старой" системе, и она же имеет координаты (х', y')в новой системе, кроме того, пусть новое начало O' имеет координаты (а, b) в "старой" системе.

Тогда

Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.

Следовательно, имеем:

x=x^’+a y=y^’+b

Сейчас мы рассматриваем преобразование, заключающееся в повороте координатных осей с сохранением начала координат

Пусть точка М имеет координаты (х, у) в "старой" системе и координаты (х,' у')в "новой" системе, α - угол поворота осей координат, отсчитываемый в положительном направлении от "старой" оси Ох. В данном случае происходит изменение базиса   на базис 

Запишем координаты векторов i и j(с штрихом и сверху направление) в базисе 

т.е., мы получили

или, в матричной форме

Формулы (43), (44) выражают "старые" координаты через "новые".

Обозначим матрицу

тогда

Как найти выражение "новых" координат через "старые"?

Поскольку матрица А невырожденная, то существует обратная матрица A^-1.

Умножим соотношение (45) слева на A^-1 и получим

поскольку A^-1*A, т.е. единичная матрица, то

где, очевидно,

Уравнение кривых второго порядка

Пусть AC-B² 0.Тогда уравнение выше с помощью параллельного переноса и поворота осей координат приводится к виду