§3. Повторные и бесповторные выборки. Репрезентативная выборка.
Повторной называют выборку, при которой объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторная выборка – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Оказывается, результаты выборки зависят не только от её объёма, но и от способа отбора объектов.
Выбор должен быть таким, чтобы он правильно представлял интересующий нас признак генеральной совокупности. В этом случае выборку называют репрезентативной (представительной). Можно показать, что в силу закона больших чисел можно утверж-дать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайно. Выборка бу-дет осуществлена случайно, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
§4. Статистическое распределение выборки.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка и изучается случайная величина X, при этом значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 – n2 раз, …, xk – nk раз.
- объём выборки.
Наблюдаемые значения
xi
(x1,
x2,
…, xk)
называются вариантами, а последователь-ность
вариант, записанных в возрастающем
виде, называется вариационным рядом.
Числа наблюдений ni
называют частотами, а их отношения к
объёму выборки – относительными
частотами -
(*) (для xi).
Статистическим распределением выборки называют таблицу, где указан пере-чень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
xi |
x1 |
x2 |
… |
xk |
pi* |
p1* |
p2* |
… |
pk* |
В этом случае говорят, что составлен дискретный ряд распределения. Такой ряд составляется по результатам наблюдений над дискретной случайной величиной.
В теории вероятностей под распределением дискретной случайной величины понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их ве-роятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми ва-риантами и их частотами или относительными частотами.
Если у нас есть результат наблюдений над непрерывной случайной величиной, то тогда статистическое распределение выборки задаётся интервальным рядом распределе-ния. В этом случае весь диапазон наблюдаемых значений случайной величины разделим на интервалы и подсчитаем количество значений mi, приходящихся на каждый i-й интервал.
- относительная частота,
приходящаяся на i-й
интервал, где n
– объём выборки,
.
I |
(x1,x2) |
(x2,x3) |
… |
(xk,xk+1) |
mi pi* |
m1 p1* |
m2 p2* |
… … |
mk pk* |
Эту таблицу называют интервальным рядом распределения.
§5. Эмпирическая функция распределения.
В теории вероятностей F(x) мы называем теоретической функцией распределения. В математической статистике F*(x) – эмпирическая функция распределения.
Пусть изучается распределение некоторого количественного признака X – слу-чайная величина, и в результате n независимых наблюдений получена конкретная вы-борка x1, x2, …, xn.
Обозначим: nx – это число вариант в конкретной выборке, меньшее x.
Пример.
2,4,6,7,8
x=4,5; nx=2
Тогда определим функцию
- это эмпирическая функция распределе-ния
выборки, определяющая для каждого
значения x
относительную частоту события X<x.
Можно показать, что при больших n эмпирическая функция распределения близка к теоретической функции распределения.
Теорема.
(без доказательства).
Свойства функции F*(x) (функция F*(x) имеет те же свойства, что и F(x)):
1.
.
2. F*(x) – неубывающая.
3. Если x1 – наименьшая варианта, F*(x)=0, x≤x1. Если xk – наибольшая варианта, F*(x)=1, x>xk.
Пример.
Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке:
xi |
2 |
6 |
8 |
10 |
ni |
6 |
16 |
18 |
20 |
Дискретный ряд, объём выборки n=6+16+18+20=60.
;
;
;
.
Скачки на графике Fx* равны относительным частотам.