Вопрос 4.

Рассказать о способах вычисления определителя матриц.

1. Для матрицы размером 1 определителем (детерминантом) является сам единственный элемент этой матрицы (n=1, |a_n|=a_n)

2. Для матрицы размером 2×2:

3. Для квадратной матрицы размером 3:

1. 

2. Алгоритм запоминания формулы определителя 3-го порядка "Звездочка":

"+" "-"

4. Определители порядка выше 3-го вычисляются только с помощью формулы разложения по элементам строки или столбца данной матрицы:

A₁₁, A₁₂, A_1n - алгебраические дополнения(число, вычисляемое по формуле )

Минором (M_ij) элемента a_ij матрицы A называется определитель матрицы, получаемый вычеркиванием в матрице A i-ой строки и j-ого столбца.

Вопрос 5.

Перестановки. Определитель матрицы n-го порядка.

Пусть A конечное множество размером n: A={1, 2, 3, ..., n}

Определение: Перестановкой (подстановкой) n-ой степени называется взаимно-однозначное отображение множества A в себя.

ϕ:A → A

S_n - множество всех подстановок степени n.

- тождественная (единичная) подстановка.

Утверждение: Число подстановок размерности n равно n-факториал. (|S_n|=n!)

Операция умножения перестановок определяется как композиция перестановок.

Для всех ϕ ᴪ ϯ принадлежащих S_n верно: (ϕ×ᴪ)×ϯ=ϕ×(ᴪ×ϯ) (ассоциативность)

E×ϕ=ϕ×E=ϕ

Определение: Подстановка ϕ^-1 называется обратной, если ϕ× ϕ^-1= ϕ^-1× ϕ=Е

Пара элементов называется правильной, если разности (i-j) и (ϕ(i)-ϕ(j)) имеют один знак. В противном случае такая пара называется неправильной или инверсией.

Подстановка называется четной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной, если нечетное число инверсий.

Тождественная подстановка считается четной.

Количество четных и нечетных подстановок в множестве S_n(n≥2) совпадает и равно .

Для всех ϕ, принадлежащих S_n: (sgn-сигнум)

Определитель матрицы n-ого порядка:

Определители n-ого порядка вычисляются с помощью формулы разложения по элементам строки или столбца данной матрицы:

A₁₁, A₁₂, A_1n - алгебраические дополнения(число, вычисляемое по формуле )

Минором (M_ij) элемента a_ij матрицы A называется определитель матрицы, получаемый вычеркиванием в матрице A i-ой строки и j-ого столбца.

Вопрос 6.

Ранг матрицы и способы его вычисления.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A_m×n называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы A обозначается rang A (rg A).

Ранг нулевой матрицы равен нулю.

Связанные определения

Ранг матрицы M размера m×n называют полным, если rang M = min{m,n}. (нет зависимых строк(столбцов)). Если ранг матрицы меньше количества строк (столбцов), то такая матрица называется вырожденной.

Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где r=rang A.

Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k+1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен K. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.