7.1.Методы и задачи оптимизации процессов
Сущность математического описания процесса, технической системы или отдельного объекта заключается в получении математической модели связывающей входные факторы и выходные параметры, например, характеристики сырья и выходящего продукта, , где - оператор, характеризующий математическую операцию преобразования входных функций в выходные функции .
Оптимальность процесса означает минимизацию или максимизацию значений некоторой функции, адекватно описывающей данный процесс. Нахождение экстремума функции является классической задачей математического анализа, когда переменные могут изменяться во всем пространстве без каких-либо ограничений. Если функция непрерывно дифференцируема, то экстремальные значения будут в точках, в которых обращаются в нуль все частные производные функции.
Отыскание оптимума функции относится к задачам выпуклого программирования.
Функция
,
определенная на выпуклом множестве
-мерного
пространства, называется выпуклой на
этом множестве, если
для любых точек
и любого числа
(рис. 7.1)
Рис. 7.1.График функции одной переменной, выпуклой на всей числовой прямой
Рассмотрим
постановку задачи выпуклого
программирования. Пусть задана система
ограничений какого-либо процесса
(например, по скоростному режиму рабочих
органов, по температурно-влажностным
условиям и т.п.)
и функция
.
Задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого решения системы ограничений, при котором целевая функция достигнет экстремального (минимального для выпуклой и максимального для вогнутой функции) значения. Если целевая функция является строго выпуклой (строго вогнутой) и если область решений системы ограничений не пуста и ограничена, то задача выпуклого программирования всегда имеет единственное решение [38].
Пример: Требуется
найти минимум функции
при следующих ограничениях:
.
Построим область допустимых решений данной задачи:
- первое неравенство
представляет собой окружность с центром
в начале координат и радиусом
.
Очевидно, область решений данного
неравенства лежит внутри окружности и
на ней самой;
- область решений
неравенства
представляет собой полуплоскость,
лежащей над этой прямой, включая и саму
прямую;
- область решений
неравенства
представляет собой полуплоскость,
лежащей под этой прямой, включая и саму
прямую;
Можно видеть, что с учетом не отрицательности переменных областью допустимых решений данной задачи является замкнутый сектор, ограниченный прямыми и начальной окружностью (Рис. 7.2).
Построим линию
уровня функции
и
определим направление ее убывания. Все
линии уровня имеют уравнение
,
т.е.
.
При
получаем линию уровня
,
представляющую собой окружность с
центром в точке
и радиусом
.
Можно видеть,
что в любой точке этой линии уровня при
перемещении от центра окружности
функция
,
а при перемещении к центру – убывает.
Минимум
достигается в точке
,
т.е.
.
Рис. 7.2. Отыскание минимума функции
Для приближенного
решения задач выпуклого программирования
может быть использован метод
кусочно-линейной аппроксимации. Идея
метода состоит в том, что все
из
,
где
-
целевая функция, и все
(ограничения) заменяются ломаными
линиями из прямолинейных отрезков.. При
этом исходная задача выпуклого
программирования заменяется новой
задачей линейного программирования.
Новая задача обычно решается симплексным
методом.
Из градиентных
методов в исследованиях процессов
используется метод спуска. Общая схема
решения задач этим методом состоит в
построении последовательности
решений системы ограничений данной
задачи по следующему правилу: в качестве
выбирается
произвольная точка области решений,
затем каждая последующая точка получается
из предыдущей по формуле
,
где
- некоторое направление (вектор),
-
число (длина вектора). Направление
и величина
выбираются так, чтобы обеспечить
сходимость последовательности к
оптимальному решению
.
Определить является ли направление
приемлемым для продвижения к оптимуму
можно по производной по направлению
,
если производная меньше нуля, то по
данному направлению мы приближаемся к
оптимуму.
Подробные сведения о методах оптимизации приведены в [39,40,41].