§ 4. Математические модели силовых трансформаторов.

В курсе ТОЭ было показано, что описание электромагнитных процессов в электрических (и магнитных) цепях производится с помощью основных уравнений: Ома, Кирхгофа, полного тока и т.п. Разумеется, что и СТ как совокупность электрических и магнитных цепей может быть описан этими же уравнениями. Однако в силу некоторых причин необходимо учесть приближенный характер этих уравнений, в связи с чем, на систему уравнений, описывающих рабочий режим силового трансформатора, целесообразно смотреть как на некоторую математическую модель.

Попытаемся составить эти уравнения для силового трансформатора, рассматривая для простоты однофазный вариант или одну из фаз СТ (рис. 4).

Необходимо отметить ряд допущений, используемых при этом:

а) напряжения, э,д.с, потоки и токи обмоток СТ предполагаются чисто синусоидальными;

б) магнитные поля считаются однородными, т.е. потокосцепления обмоток определяются потоками Ф и количеством витков W;

в) рассматриваются средние силовые линии полей. Стрелки у обозначений токов и потоков на рис.4 определяют их направление в данный момент времени. Стрелки у обозначений напряжений - более высокий потенциал данного зажима. Все эти направления установлены с учетом правил ТОЭ, в частности для тока I₂ - по принципу Ленца.

Через Ф_о будем обозначать поток (амплитуду) основного поля, силовые линии которого сцеплены одновременно с первичной и вторичной обмотками. Потоки и (также амплитуды) определяют поля рассеяния обмоток.

4.1. Первое уравнение СТ можно составить в соответствии со 2м законом Кирхгофа для контура первичной обмотки:

(13)

Здесь обе э.д.с. E₁₀ (от основного поля) и (от поля рассеяния) определены с учетом их фактического направления - против тока I₁. Действующие значения каждой из них можно установить по правилам ТОЭ

где f₁ - частота сети.

То обстоятельство, что силовые линии поля рассеяния проходят (хотя бы частично) по воздуху, позволяет допустить пропорциональность т.е. определять э.д.с. поля рассеяния как

(16)

- индуктивное сопротивление фазы первичной обмотки от поля рассеяния или эквивалент действия этого поля.

В связи с этим первое уравнение СТ (13) можно представить в виде

(17)

где

В современных силовых трансформаторах удается свести рассеяние магнитных полей к минимуму, так что в номинальном режиме

(18)

Это обстоятельство позволяет оценить значение в о.е. В самом деле, в номинальном режиме

тогда

и поэтому

(19)

Относительно малые значения R₁ и позволяют считать

(20)

поскольку, как правило U₁ = U_1н = const, то можно отметить особое свойство: у силового трансформатора величина первичной э.д.с. Е₁₀ и величина потока основного поля Ф₀ слабо зависят от нагрузки и могут считаться условно постоянными.

4.2. Второе уравнение СТ составляется по закону полного тока (для контура средней силовой линии):

(21)

В этом уравнении уже учтено, что первичная м.д.с. и вторичная действуют навстречу друг другу (по правилу Ленца); определяет результирующее падение магнитного напряжения в сердечнике СТ от основного потока Ф₀.

Величина последнего практически постоянна, поэтому

(22)

т.е. одинакова во всех режимах СТ от номинального до холостого хода. Последнее позволяет приравнять

(23)

где I₁₀ - первичный ток холостого хода или намагничивающий ток СТ.

Стремление повысить эффективность передачи энергии в СТ приводит к использованию в магнитопроводах высококачественных ферромагнетиков, обладающих высокой магнитной проницаемостью.

Именно поэтому у современных СТ

(24)

т.е. результирующая м.д.с. не только практически постоянна, но и сравнительно мала.

Это очень важный вывод, поясняющий одно из интереснейших свойств силовых трансформаторов - свойство саморегулирования. Действительно, если уменьшив Z_нагр мы увеличим I₂, т.е. потребуем от трансформатора больше энергии, то автоматически возрастет I₁ и большее количество энергии будет потреблено из сети.

Для сравнения рассмотрим любой другой, неэлектрический преобразователь энергии и убедимся, что ни тепловые (паровые, внутреннего сгорания), ни другие машины этим свойством не обладают.

4.3. Третье уравнение СТ может быть составлено по 2му закону Кирхгофа для вторичной цепи:

(25)

Здесь э.д.с. от основного поля

(26)

и э.д.с. от поля рассеяния

(27)

находятся в разных частях равенства, что соответствует направлению полей и по отношению ко вторичной обмотке (рис, 4).

Но аналогии с первичной обмоткой можно считать

(28)

называя индуктивным сопротивлением фазы вторичной обмотки от поля рассеяния или эквивалентом действия этого поля. Как и для первичной обмотки, у СТ обычно

(29)

т.е. выходное напряжение и слабо зависит от нагрузки.

Итак, третье уравнение СТ можно представить в виде

(30)

4.4.Четвертое уравнение СТ составляется для количественного отображения процесса преобразования энергии. Дело в том, что в предыдущие уравнения вошли лишь эквиваленты потерь энергии в обмотках R₁ и R₂, в то время как в реальном СТ имеют место еще и потери в стали (магнитопроводе).

Поэтому необходимо уравнение баланса мощностей

(31)

где - мощность на входе или первичная;

- мощность на выходе или вторичная;

- сумма мощностей, соответствующих различным видам потерь энергии. Таким образом, математическая модель СТ представляет собой систему уравнений:

(32)

Эту систему можно представить в о.е., используя соответствующие базисные величины:

(33)

Как известно из курса ТОЭ, отношение

(34)

называют коэффициентом трансформации.

Особенности СТ, отмеченные при составлении уравнений его математической модели, позволяют записать следующие приближенные равенства

(35)

Таким образом, коэффициент трансформации СТ можно определить отношением его напряжений U₁ и U₂ или токов I₁ и I₂, причем точность такого определения тем выше, чем меньше отличаются U₁ и U₂ от E₁₀ и E₂₀ или чем меньше значение результирующей м.д.с. .