1.5. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим частный случай равновесия жидко­сти, когда действует лишь одна массовая сила — сила тяжести и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое дав­ление.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 1.7) и на ее свободную поверхность действует давление p₀. Найдем гидростатическое давле­ние р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

В ыделим около точки М элементар­ную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилинд­рический объем высотой h. Давление жидкости P на ниж­нее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх.

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикаль:

Рис.1.7. Схема для вывода основного

уравнения гидростатики

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Со­кратив выражение на dS получим:

(1.20)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидро­статики; Это давление складыва­ется из двух величин: давления р₀ на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Величина р₀ является одинаковой для всех точек объема жидко­сти, поэтому, давление, приложенное к внешней поверхности жидко­сти, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

* Б. Паскаль (1623 —1662 гг.) — известный французский математик, физик и философ. В возрасте 16 лет написал трактат о теории конических сече­ний. Далее опубликовал работы по теории чисел, теории вероятностей, анализу бесконечно малых и др. В физике исследовал атмосферное давление и заложил основы гидростатики.

Давление жидкости, как видно из формулы (1.20), возрастает с увеличением глубины по закону прямой и па данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, на­зывается поверхностью уровня.

Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты z. Заменив в уравнении (1.20) h на z₀ — z, получим:

(1.21)

Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Координата z называется геометрической высотой. Величина р/(pg) имеет линейную размерность и называется пьезометрической высотой, Сумма z + p/( pg) называется гидростатическим напором.

1.6. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая

П олучим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, напри­мер, силы инерции переносного дви­жения при так называемом относи­тельном покое (см, пп. 1,10 и 1,11). В неподвижной жидкости возь­мем произвольную точку М с коор­динатами x, у и z и давлением р (рис, 1,8).

Систему координат будем считать жестко связанной с сосу­дом, содержащим жидкость. Выде­лим в жидкости элементарный объ­ем в форме прямоугольного парал­лелепипеда с ребрами, параллель­ными координатным осям и соот­ветственно равными dx, dy и dz.

Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объе­ма жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, отнесен­ная к единице массы (см. п. 1,2), равны X, Y и Z. Тогда массовые силы будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Давление р есть функция координат х, у и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково (см. п. 1.4). При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата х на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др/дх)dx_r поэтому давление в точке N равно

др/дх)dx,

где др/дх — градиент давления вблизи точки М в направлении оси x.

Рассматривая давления в других соответствующих точках гра­ней, нормальных к оси x, например в точках N' и М', видим, что они отличаются на одинаковую величину

.

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллеле­пипед в направлении оси х равна:

Аналогичным образом, но через градиенты давления др/ду и dp/dz выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия в направлениях трех координатных осей запишем в сле­дующем виде:

(1.22)

Разделим эти уравнения на массу dxdydz параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:

(1.23)

Система (1.23) дифференциальных уравнений гидростатики назы­вается уравнениями Эйлера.

Для практического пользования удобнее вместо системы урав­нений (1.23) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержа­щее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений (1.23) на dx, второе — на dy, третье — на dz и, сложив все три урав­нения, получим:

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции р (x, y, z), поэтому предыду­щее уравнение можно переписать в виде:

или

(1.24)

Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy и dz в общем случае равновесия жидкости.

Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления

Пьезометрическая высота, равная p/( g), представляет собой высоту столба данной жидкости, соответствующую данному давле­нию р (абсолютному или избыточному). Пьезометрическую высоту соответствующую избыточному давлению, можно определить по пьезометру — простейшему устройству для измерения давления.

Пьезометр представ­ляет собой вертикальную стеклянную трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к емкости, в которой измеряется давление (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Пьезометр, присоединенный к баку

где Рабс — абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра; Ра — атмо­сферное давление.

Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре:

где Ризб — избыточное давление на уровне при­соединения пьезометра.

На рис. 1.12 показаны схемы жидкостных манометров. Так на­зываемый U-образный манометр (рис. 1.12, а) представляет собой изогнутую стеклянную трубку, содержащую ртуть. При намерении небольших давлений газа вместо ртути применяют спирт, воду и иногда тетрабромэтан (δ = 2,95). Если измеряется давление жидко-­ сти в точке М, и соединительная трубка заполнена этой же жид­ костью, то следует учитывать высоту расположения манометра над точкой М. Так, избыточное давление в точке М:

Чашечный манометр (рис. 1.12, б) удобнее описанного выше тем, что при пользовании им необходимо фиксировать положение лишь одного уровня жидкости (при достаточно большом диаметре чашки по сравнению с диаметром трубки уровень жидкости в чашке можно считать неизменным).

Для измерения разности давлений в двух точках служат диффе­ренциальные манометры, простейшим из которых является U-образный манометр (рис, 1.12, в). Если при помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измерена разность давлений р₁ и р₂ в жидкости плотностью р, которая полностью заполняет соединитель­ные трубка, то:

Для измерения малых перепадов давления воды применяют двухжидкостный микроманометр, представляющий собой перевернутую U-образную трубку с маслом или керосином в верхней части (рис.1. 12, г). Для этого случая:

Двухжидкостный чашечный манометр (рис. 1.12, д) предназначен для из­мерения давлений или разрежений воздуха в интервале от 0,01 до 0,05 МПа, Таким манометром, например, пользуются при опытах в скоростных аэродинамических трубах, В чашку заливают ртуть, а в трубку — спирт, керо­син или иную жидкость. Соответствующим подбором диаметров верхнего d1 и нижнего d2 участков трубки можно получить любую условную плотность Рус входящую в формулу:

где р — измеряемое давление (или разрежение); Н — показание манометра.