4.6. Точность оценок по мнк
Для
решения вопроса о точности модели
следует указать доверительные
интервалы
для коэффициентов 
и искомой регрессии 
Границы
доверительного интервала для параметра
модели
при уровне
надёжности
р
определяются по формуле 
(4.35)
или
с учётом (4.32) 
(4.36)
Это означает, что с вероятностью не менее р истинное значение параметра модели содержится в интервале
,
(4.37)
В
инженерных расчётах р
принимают на уровне р=0.9,
0.95, 0.99 в зависимости от необходимой
точности моделей. В предположении
нормальности измерительных ошибок и
достаточной величины выборки (должно
быть 
)
этим значениям доверительной
вероятности (надёжности)
соответствуют значения 
(отсюда, в частности, «правило 3
»).
Аналогично определяется доверительный интервал для выходной переменной модели
(4.38)
Причём
рассчитывается по формуле
(4.39)
П
оскольку
чаще всего интенсивность измерительных
ошибок 
заранее
неизвестно, то в формулах (4.36) – (4.38) она
заменяется несмещённой оценкой 
,
где 
(4.40)
Из
общих соотношений можно получить формулы
для одномерной линейной модели 
а именно:
(4.41)
Где
(4.24)
Из
формул видно, что ошибки моделей
уменьшаются пропорционально 
,
т.е. для увеличения точности (уменьшения
величины доверительного интервала) в
2 раза, необходимо увеличить выборку
данных (N)
в 4 раза.
Из
(4.41) следует также, что ошибки моделей
тем меньше, чем меньше измерительные
ошибки
и чем больше разброс входных данных
.
Важно
также отметить, что ошибка оценивания
выходной переменной у
по
модели
зависит от х,
и тем меньше, чем ближе х
к среднему значению 
.
.
.
.
4.7. Проверка значимости оценок параметров регрессии
При
построении регрессионных моделей обычно
стремятся минимизировать их сложность
и, в частности, при сохранении точности
уменьшить число слагаемых в выражении
(4.43)
Поскольку на начальной стадии построения модели нередко рассматривается избыточная структура с большим числом l, то в дальнейшем возникает вопрос об отсеивании лишних слагаемых, для которых коэффициенты близки к нулю.
Для этой цели, прежде всего, полезно перед построением модели выполнить нормирование переменных, т.е. приведение их к безразмерному виду равному масштабу.
Из (4.43) следует, что
(4.44)
Где
выборочные
средние, а тогда
(4.45)
и
(4.46)
где
–
выборочные СКО.
Переходя к нормированным переменным и коэффициентам
.
(4.47)
Получим
искомую модель 
(4.48)
Если
в нормированной модели (4.48) какие-либо
коэффициенты 
близки к нулю, то это является определяющим
основанием для «выкидывания» из неё
соответствующих слагаемых, т.е. признания
их незначительными.
Для
обоснованного удаления таких слагаемых
из модели следует выполнить для каждого
из них проверку гипотезы о том, что
соответствующий параметр
равен нулю. Такая гипотеза может быть
принята, если доверительный интервал
«накрывает» (содержит) значение
=0.
Пример
1:
Пусть
В этом случае интервал [0.03; 0.07] не содержит
нулевое значение, а значит, j-е
слагаемое модели удалять не следует.
Пример
2:
Пусть 
В этом случае интервал [-0.4; 0.2] содержит
,
а значит, j-е
слагаемое может быть удалено из модели.
После удаления незначимых параметров можно легко найти параметры ненормированной модели с использованием соотношений (4.47).