5.Базис векторного прост-ва. Разложение вектора по базису.

Опр-е. Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства, наз-ся базисом этого пространства.

Рассм.простр-во R^2:

a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис:

e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен, как линейная комбинация базисных векторов.

Рассм. прост-во R^3:

e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3

Теорема(о разложении вектора по базису):Каждый вектор линейного простр-ва можно представить,и при том единственным образом,в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть a1,a2…an-это вектора, которые образуют базис,это сист. линнезав. векторов.Возьмём некот.вектор x,тогда x,a1,a2…an-линейнозависимы,а значит,по опр-ю,найдутся числа c,c1,c2…cn такие,что cx+c1a1+c2a2+…cnan=0.Разделим обе части равенства на коэф. с и получим:x=(-c1:c)a1+(-c2:c)a2+…+(-cn:c)an. Оно означает,что вектор x есть линейная комбинация базисных векторов.Это равенство наз-ся разложением вектора x по базису a1,a2…an.

6.Теорема о дополнении до базиса.

Пусть векторы a1,a2…an линейного прост-ва размерности W-линнезав.,причем k<n.Тогда в прост-ве W найдутся векторы ak+1,ak+2…an такие,что совокупность векторов a1,a2…ak,ak+1,ak+2…an будет явл-ся базисом прост-ва W.

7.Евклидово прост-во.Отображения.Образ,ядро,дефект отображения.

Линейное векторное прост-во W наз-ся Евклидовым,если любым двум векторам x и y из прост-ва W ставится в соот-е число,называемое скаляр. произ-ем,причём выполняется след.условие:

xy=(x1y)=x1y1+x2y2+…+xnyn

1.xy=yx;2.(x+y)z=xz+yz;3.(^x)y=^(xy);4.x*x>0,если x ненулевой вектор;5.x*x=0,если x нулевой вектор.

8.Понятие матрицы.Виды матриц.Операции над матрицами.

Матрицей размерности m*n наз-ся прям-ая таблица чисел,содерж-я m строк и n столбцов.Числа,составляющие матрицу наз-ся элементами матрицы и обознаются aij: i-номер строки,j-номер столбца,на пересечении которых стоит это элемент.

Виды: Матрица,все элементы которой=0,наз-ся нулевой матрицей.

Матрица,сост. из 1 строки наз-ся матрицей-строкой A=(a11,a12..a1n)

Матрица,сост. из 1 столбца наз-ся матрицей-столбцом A=(a11)

(a21)

…

(an1)

Матрица,у которой число строк совпадает с числом столбцов,наз-ся квадратной матрицей.

Матрица,у которой все недиагон.элементы равны 0,наз-ся диагон.матрицей.A=(100)

(020)

(003)

Квадратичная матрица,у которой на глав.диагонали стоят единицы,а все ост.элементы нули,наз-ся единичной матрицей.

E=(100)

(010)

(001)

Квадратичная матрица,у которой все элементы выше или ниже глав.диагонали=0,наз-ся треугольной матрицей.A=(123)

(034)

(005)

Матрица,сост-ая из двух матриц,наз-ся расши-ой матрицей.C=(A/B).

Операции над матрицами:

1.Две матрицы один-ой размерности Am*n, Bm*n наз-ся равными,если равны соот-щие элементы aij=bij.

2.Умнож-е матрицы на число.При умнож. матрицы на k,все элементы матрицы умнож. на это число k.

3.Суммы двух матриц один.размерности Cm*n=Am*n+Bm*n,наз-ся новая матрица,элементы которой,есть суммы соот-щих эл-тов матриц A и B.

4.Произ-е матриц.При умнож. матрицы должно выполняться правило размерности:при умнож. м.A на м.B число столбцов м.A должно совпадать с числом строк м.B.

5.Транспонирование.При транс-и мат.Am*n происходит переход к матрице A^T,у которой строки и столбцы меняются местами Am*n^T.