Основные кинематические характеристики и уравнения поступательного и вращательного движений

Поступательное движение		Связь между величинами	Вращательное движение вокруг неподвижной оси
Длина пути			Угол поворота
Модуль скорости			Модуль угловой скорости
Модуль ускорения	Полное ускорение		Модуль углового ускорения
	Тангенциальная составляющая ускорения
	Нормальная составляющая ускорения
Равномерное движение ; ;			Равномерное вращение ; ;
Равнопеременное движение ; ;			Равнопеременное вращение ; ;

Как можно заметить, кинематические уравнения, описывающие поступательное и вращательное движения, имеют одинаковый вид.

П ример 1.4.2. Диск радиусом вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением . Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость и угловое ускорение ; 2) тангенциальное ускорение ; 3) нормальное ускорение ; 4) полное ускорение .

Дано: Решение:

1. У

   ,

   , ,

   , ,

   .

   1) ;

   2)

   3)

   4)

   гловая скорость вращения диска по формуле 1.4.1 .

Угловое ускорение по 1.4.8 .

2) Линейная скорость связана с угловой соотношением , и по 13.3 .

3) нормальное ускорение по 1.3.3

.

4) По 1.3.4 полное ускорение .

Ответ: , , , , .

Пример 1.4.3. Велосипедное колесо вращалось с частотой . Под действием сил трения через 1 минуту оно остановилось. Определить угловое ускорение колеса и число оборотов N, которое сделало колесо за это время.

Д ано: Решение:

К

,

.

;

инематические уравнения равнозамедленного вращения колеса по 1.4.11 имеют вид:

В момент времени колесо остановилось, т.е. его угловая скорость . При этом колесо повернулось на угол , где число оборотов колеса.

Таким образом, откуда .

Из второго уравнения системы

.

Ответ: , .

1.5. Преобразования скорости и ускорения при переходе из одной системы отсчета в другую

В рамках классической механики скорость и ускорение тела преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы отсчета к другой.

Пусть имеются две произвольные системы отсчета и (рис. 1.5.1). Известны скорость и ускорение тела (точки А) в -системе. Рассмотрим случай, когда -система движется поступательно по отношению к -системе, и определим значения скорости и ускорения тела в -системе.

Если за время тело (точка А) перемести лась относительно -системы на величину , а -система переместилась относительно -системы на , то по правилу векторного сложения следует, что перемещение тела относительно -системы будет равно . Разделив обе части этого равенства на и обозначив через скорость -системы относительно -системы, получим: .

Рассуждая аналогично, найдем формулу преобразования ускорения: , из которой вытекает важное следствие: при ускорения и равны. Иными словами, если система отсчета движется поступательно, без ускорения относительно системы отсчета , то ускорения тела в обеих системах отсчета будут одинаковы. Этот факт имеет важное значение при изучении механического движения. Переход из одной системы отсчета в другую довольно часто применяется на практике и порой существенно облегчает решение физических задач.

Часто встречаются задачи, в которых два тела движутся независимо друг от друга в некоторой системе отсчета, и требуется определить какие-либо величины (перемещение, скорость), характеризующие движение одного тела относительно другого. В таких случаях, как правило, удобно перейти в систему отсчета, связанную с тем телом, относительно которого рассматривается движение другого тела, и применить полученные выше формулы преобразований. После несложных рассуждений можно установить, что относительное перемещение и относительная скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же (чаще всего – неподвижной) системе отсчета.

П ример 1.5.1. Два корабля движутся с постоянными скоростями и под углом друг к другу (рис.1.5.1). Найти скорость первого корабля относительно второго.

Дано: Решение:

П

,

,

.

;

ерейдем в систему отсчета, связанную со вторым кораблем, движущимся со скоростью . В этой системе отсчета скорость первого корабля будет равна .

Вектор определим геометрически, используя правило построения векторной разности (рис. 1.5.2).

Из треугольника с помощью теоремы косинусов найдем модуль искомого вектора: .

Н аправление вектора зададим углом , который определим из по теореме синусов: .

Отсюда .

Ответ: , .