22.Метод Гаусса-Зейделя.

Mетод Гаусса-Зейделя состоит в построении последовательности итераций вида

Здесь верхний индекс означает номер итерации. Значения с индексами (i - 1, j) и (i, j - 1) берутся из (k+1)-й итерации, т. е. в вычислениях используются уточненные значения функции в этих точках. В такой схеме расчета обход внутренних узлов должен

проходить слева направо и снизу вверх. В гранич­ных узловых точках значения функции, u_i0, u_im u_0j, u_nj из­вестны точно и не изменяются в ходе расчета.

Для нахождения решения необходимо знать начальное приближение - значения функции на нулевой итерации.

На практике, для уменьшения времени расчета, желательно выбирать начальное приближение возможно более близким к точному решению. Например, на основании теоремы о среднем для гармони­ческих функций в качестве хорошего начального приближения можно при­нять значение функции, полученное интерполяцией на область G значений функции в граничных узлах. Итерации заканчиваются при выполнении усло­вия

max│ │≤ε

где ε- заданная погрешность решения системы сеточных уравнений итера­ционным методом.

Таким образом, погрешность численного решения уравнения Лапласа складывается из двух погрешностей:

- погрешности конечно-разностной аппроксимации производных в диф­ференциальном уравнении, зависящей от выбранного шага сетки;

— погрешности приближенного решения системы сеточных уравнений. Помимо метода Гаусса-Зейделя, получили распространение релаксаци­онные методы решения системы (3).

23. Задача теплопроводности

При решении задач для уравнений параболического и гиперболического типов используются различные разностные схемы, среди которых важное место занимают так называемые явные и неявные разностные схемы.

Рассмотрим их на примере классического уравнения параболического типа - уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции и(х, t), удовлетворяющей в области G = {(x,t) | 0 <х<l, t > 0} уравнению

a = const, a > 0, (1)

начальному условию

и(х,0) = f(х) (2)

и граничным условиям

u(0,t) = μ₁(t), u(l;t) = μ₂(t). (3)

Математически — это задача Коши с граничными условиями или краевая задача с начальными условиями.

Такая постановка имеет место, например, в задаче о распространении тепла в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. В этой задаче а - коэффициент теплопроводности материала стержня. Замена t=at приводит уравнение (1) к виду

поэтому примем, а = 1.

Поскольку задачу (1)-(3) называют эволюционной, имея в виду построение эволюции решения во времени, то ее область решения является полубесконечной (t > 0). Для проведения численных расчетов ограничим область по оси времени некоторой величиной Т (0 < t < Т).

Решение поставленной задачи будем искать методом сеток с построе­нием разностной схемы. В области решения строим равномерную прямо­угольную сетку с шагом h в направлении х и τ в направлении t {рис. 5.6).

Рис. 5.6. Область решения задачи теплопроводности

Координаты узлов обозначим: x_i=i*h, i = 0,1,...,n;

τ_j=j*τ, j = 0,1,...,m

где n, т — количество узлов по направлениям х и t соответственно. Тогда h = l/n и τ = Т/т. Искомую сеточную функцию u(x,t) в узлах обо­значим и, j = u(xi;tj).

Узлы, имеющие одинаковую временную координату (j = const), называют t-слоями или слоями по времени.

Решение ищется последовательно по временным слоям, начиная от слоя j=1 и далее до слоя j=m включительно.