Властивості додавання векторів

1) властивість нульового вектора: a+0=a; 2) асоціативність додавання: (a+b)+c=a+(b+c); 3) комутативність додавання: a+b=b+a;

Властивості множення вектора на число

1) комутативність: λa=aλ;

2) асоціативність:λ(μa)=(λμ)a;

3) дистрибутивність відносно додавання векторів: λ(a+b)=λa+λb; 4) дистрибутивність відносно додавання чисел: (μ+λ)a=μa+λa;

 Базис Довільна впорядкована (взята в певному порядку) трійка некомпланарних векторів називається базисом простору. Базисом на площині називаються два неколінеарних вектори, взяті в певному порядку. Базисом на прямій називається довільний ненульовий вектор на цій прямій.

15.

Скалярний  добуток— математична операція над двома векторами, результатом якої є скаляр. Скалярний добуток векторів   та   обчислюється за формулою:

де   та   є довжинами векторів, а   дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати:  =  .

Два означення добутку векторів.

Скалярним добутком двох векторів — називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярним добутком двох векторів — називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини   на довжину проекції   на  ).

16.

Ве́кторний до́буток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.

    Довжина вектора   дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах   і  , тобто

  

Вектор   перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора  , і до вектора  :

   та       

Вектори  ,  ,  , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Для векторного добутку   вектора   на вектор   вводиться позначення:

    або     

Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:

     якщо         

Якщо вектори-множники колінеарні, то   і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто

  

17.

Мішаний добуток   векторів   — скалярний добуток вектора   на векторний добуток векторів   і  :

.

Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:

т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що

Змішаний добуток   в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів   та  :

Змішаний добуток  в лівій декартовій системі координат (в ортонормированном базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів   та  , взятому зі знаком «мінус»:

зокрема,

Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.

Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Геометричний сенс — мішаний добуток   за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда утвореного векторами   та  ; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.

К вадрат змішаного добутку векторів дорівнює определителю Грама, що визначається ними

18.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

де  ,  ,   — деякі числа, при чому   або   повинне бути відмінне від нуля.^[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k x+ b

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої у відрізках

 Нормальне рівняння прямої де де p - Довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а θ - Кут

 Параметричні рівняння прямої

Канонічне рівняння прямої

19.

взаємне розміщення двох прямих на площиніякщо маємо дві прямі л1 і л2 Щоб визначити їх взаємне розташування, досить розв'язати систему рівнянь (A1x+B1y+C1=0 і A2x+B2y+C2=0) Якщо ця система має єдине рішення (х 0, у 0), то прямі l 1 і l 2, перетинається в точці М 0 (х 0, у 0). Якщо система (3.8) не має рішень, то прямі l 1 і l 2 не перетинаються, отже, l 1 | | l 2. Якщо система (3.8) має нескінченну безліч рішень, то l 1 і l 2 збігаються. Однак вирішити питання про взаємне розташування l 1 і l 2 можна і не вирішуючи системи (3.3). Дійсно, із загального рівняння прямої l 1, знаходимо, що її нормальний вектор має координати А 1 і В 1, тобто = {А 1, В 1}, а пряма l 2 має нормальний вектор = {А 2, В 2}. Якщо вектори , колінеарні, то прямі l 1 і l 2 або паралельні, або збігаються. Якщо , неколінеарних, то прямі перетинаються. Знаючи, що Колінеарні вектори (і тільки вони) мають пропорційні координати, отримуємо: якщо , То прямі l 1 і l 2 перетинаються; якщо то прямі l 1 і l 2 паралельні; якщо то прямі l 1 і l 2 збігаються

20.

Відстань від точки до прямої — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

d  =	|M0M1×s|
	|s|

Якщо s = {m; n; p}- напрямний вектор прямої l, M₁(x₁, y₁,z₁) - точка що належить прямій, тоді відстань від точки M₀ (x₀, y₀, z₀) до прямої lможна з найти, використовуючи формулу

21.

Еліпс —( лінія другого порядку.) - геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких сума відстаней до двох даних точок F ₁ і F ₂ (Званих фокусами) постійна і більше відстані між фокусами, тобто

| F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a, причому | F ₁ F ₂ | <2 a.