Фундаментальная числовая последовательность.
def: Лікавая паслядоўнасць называецца фундаментальнаю, калі
,
або інакш
.
Предел функции в точке и на , бесконечный предел. Односторонние пределы
def:
Лік
называюць лімітам
функцыі
у пункце
,
калі гэтая функцыя вызначана ў некаторай
праколатай акрузе пункта
( у
самім пункце
функцыя можа быць і нявызначанай
) і
,
або
.
Гэтае
азначэнне называюць азначэннем
паводле Кашы
або
на
мове “
”.
Пры
гэтым пішуць
def:
Лік
называюць правабаковым
(левабаковым)
лімітам функцыі
у пункце
,
калі
(
)
,
што абазначаюць адпаведна
(
).
Пры гэтым кажуць таксама, што функцыя
мае ліміт
,
калі
імкнецца да
справа (злева)
def:
Калі функцыя
вызначана
і
,
то кажуць, што лік
ёсць ліміт функцыі
пры
і пішуць
.
Калі
,
то пішуць
.
Калі
,
то пішуць
.
def:
Калі функцыя
вызначана ў праколатай акрузе пункта
і
,
то кажуць, што функцыя
ёсць бясконца
вялікая,
або мае
сваім лімітам
пры
,
і пішуць
.
Калі
,
то пішуць
( пры гэтым
).
Калі
,
то пішуць
( пры гэтым
).
Непрерывность функции в точке и на множестве.
def:
Функцыя
называецца непарыўнаю
ў пункце
,
калі яна вызначана ў ваколлі гэтага
пункта мае ліміт у пункце
і
.
Пры гэтым пункт
называецца пунктам
непарыўнасці
функцыі f
. Гэтае азначае:
“на
мове
”:
,
і
“на
мове паслядоўнасцяў”:
.
def:
Функцыя называецца непарыўнаю
на інтэрвале,
калі яна непарыўная ў кожным пункце
гэтага інтэрвала. Функцыя называецца
непарыўнаю
на адрэзку
,
калі яна непарыўная на інтэрвале
і непарыўная справа ў пункце
і злева ў пункце
.
Первая и вторая тэоремы Вейерштрасса..
(пра
абмежаванасць функцыі). Калі
функцыя f
ёсць непарыўная на адрэзку
,
то яна абмежаваная на гэтым адрэзку,
г.зн.
.
(пра дасягальнасць дакладных межаў). Калі функцыя f непарыўная на адрэзку , то яна дасягае на гэтым адрэзку сваіх дакладных ніжняй і верхняй межаў, г. зн.
.
Равномерная непрерывность.
def: Функцыя f(x) называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку X , калі
.
Галоўным у гэтым азначэнні ёсць тое, што няроўнасць
праўдзіцца
адразу
пры адзінай умове
.
Точка разрыва функции. Типы разрывов.
def: Калі функцыя f вызначана ў праколатай акрузе пункта a , а ў пункце a функцыя не з’яўляецца непарыўнаю, то пункт a называецца пунктам разрыву функцыі f . Такім чынам, пункт ёсць пункт разрыву функцыі , калі не выконваецца прынамсі адна з умоваў:
.
def:
Калі існуюць абодва аднабаковыя ліміты,
але
,
то пункт разрыву
называецца
пунктам
скачка
.
Напрыклад,
пункт
функцыі Хэвісайда
ёсць
пункт скачка.
def: Пункты скасавальнага разрыву і скачка называюцца пунктамі разрыву першага роду, г.зн. пункты, у якіх існуюць абодва аднабаковыя ліміты.
def:
Функцыю, якая мае на мностве
канечную
колькасць разрываў толькі першага роду,
называюць
кавалкава-непарыўнаю на мностве
.
3º. Не існуе прынамсі адзін з аднабаковых лімітаў.
def: Калі ў пункце разрыву не існуе прынамсі адзін з аднабаковых лімітаў, то пункт разрыву называецца пунктам разрыву другога роду.