Интеграл, широко применяющийся в физике.

1. Вычисление пути, пройденного точкой

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью   за промежуток времени от  до   вычисляется по формуле  .

Примеры:

1. Скорость движения точки   м/с.

Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию,  .

Следовательно,

 

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью   м/с,

второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний,

пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3.Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью

V = (39,2—9,8^) м/с.

Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t,

когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. Вычисление работы силы

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле  При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32—0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. Вычисление работы, производимой при поднятии груза

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr² dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r² dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr² хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. Вычисление силы давления жидкости

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807  S x,

где   — плотность жидкости, кг/м³; S — площадь площадки, м²; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).