Вопрос 1. Определение выпуклых функций

• Определение. Пусть R - выпуклое множество точек

n - мерного пространства. Функция f, определенная

на R, называется выпуклой, если для любой пары точек х1,х2ЄR и произвольного 0 ≤λ≤ 1 выполняется неравенство

f(λx1 + (1 – λ)x2)≤λf(x1) + (1 – λ)f(x2)

Если

f(λx1 + (1 – λ)x2)≥λf(x1) + (1 – λ)f(x2)

то функция называется вогнутой.

Необходимые и достаточные условия выпуклости функции.

Если функция f дифференцируема на интервале, то для того, чтобы она была (строго) выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобы ее производная возрастала (не убывала).

Таким образом, для выпуклости непрерывно дифференцируемой функции на некотором множестве G достаточно неотрицательной определенности ее матрицы вторых частных производных Гессе:

Г(х) = (∂2f(x)/∂xi∂xj), i,j=1,2,…,n.

При исследовании на знакоопределенность матрицы Г вторых производных целесообразно использовать критерий Сильвестра.

Главным угловым минором k-го порядка некоторой квадратной матрицы называют определитель матрицы, составленной из первых k

строк и первых k столбцов исходной матрицы.

Решить самостоятельно следующие примеры:

Исследовать функцию на выпуклость (вогнутость) на заданном множестве Х:

1. f(x) = 8x₁² + 5x₂² + 4x₁x₂ , X = R²

2. f(x) = 4x₁² + 3x₂² + x₁ – 4x₁x₂ , X = R²

Вопрос 2. Критерий Сильвестра

Симметричная матрица является:

а) положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные угловые миноры положительны;

б) отрицательно определенной, когда все ее главные угловые миноры нечетного порядка отрицательны, а четного – положительны;

в) при любом другом сочетании знаков миноров стационарная точка является седловой. Если хотя бы один из миноров равен нулю, то для определения характера экстремума следует использовать другие критерии.

Пример.

Исследовать функцию f = (x1)2(x2)2 на выпуклость на множестве Х = R2.

Решение:

∂f/∂x1=2x1; ∂f/∂x2=2x2; ∂2f/∂x1∂x2=∂2f/∂x2∂x1=0;

∂2f/∂(x1)2=2; ∂2f/∂(x2)2=2; Г=(0220).

Главные угловые миноры матрицы Г:

M1=∂2f/∂(x1)2=2>0; M2= det(Г)=4>0.

Главные угловые миноры положительно определены, значит данная функция выпукла.

Для решения конечномерной задачи без ограничений следует:

1. Выписать необходимое условие экстремума 1 порядка – аналог теоремы Ферма:

f ^’(х) = 0 ↔ ∂f/∂x₁ = … = ∂f/∂x_n = 0.

Найти точки х^*, удовлетворяющие необходимому условию 1 порядка (стационарные точки).

2. Проверить выполнение условий экстремума 2 порядка в каждой стационарной точке.

Выписать матрицу вторых производных

А = f ’’(x^*).

а) Проверить выполнение достаточных условий экстремума - исследовать ее знакоопределенность, т.е. посчитать последовательные главные миноры матрицы А:

det((a_ij)_i.j=1^k), k = 1,2,…,n.

Если все они положительны, то точка х^* доставляет локальный минимум в задаче.

Если все ее последовательные главные миноры чередуют знак, начиная с отрицательного, то точка доставляет локальный максимум.

b) Если не выполняются достаточные условия экстремума, то надо проверить выполнение необходимых условий – исследовать ее слабую знакоопределенность, т.е. посчитать главные миноры матрицы А.

Если матрица А не является неотрицательно определенной, то точка х^* не доставляет локальный минимум.

Если матрица А не является неположительно определенной, то точка х^* не доставляет локальный максимум.

Примеры:

Пример 1. f(x) = f(x₁,x₂) = x₁² – x₁x₂ + x₂² – 2x₁ + x₂ → extr.

Решение.

Необходимое условие локального экстремума 1 порядка:

f^’(x) = 0 ↔ ∂f/∂x₁ = ∂f/∂x₂ = 0 ↔ 2 x₁ – x₂ – 2 = 0,

- x₁ + 2 x₂ + 1 =0.

Решая эту систему уравнений, находим единственную стационарную точку х^* = (х^* ₁,х^*₂ ) = (1,0).

Для проверки условий 2 порядка выпишем матрицу вторых производных и проверим ее знакоопределенность:

2 -1

А =

-1 2 ,

2 -1

А₁ = 2 > 0, А₁₂ = det = 4 > 0

-1 2

Матрица А по критерию Сильвестра положительно определена. По достаточному условию экстремума функции нескольких переменных точка х^* доставляет локальный минимум функции f.

По следствию из теоремы Вейерштрасса абсолютный минимум в задаче должен достигаться. Значит, точка х^* будет доставлять не только локальный, но и абсолютный минимум, f_min = f(1,0) = -1.

Пример 2.

f(x) = f(x₁,x₂) = x₁⁴ + x₂⁴ - x₁² - 2 x₁ x₂ – x₂ ² → extr.

Решение.

Необходимое условие локального экстремума 1 порядка:

Получаем три стационарные точки:

х^*₁ = (1,1), х^*₂ = (-1,-1), х^*₃ = (0,0).

Для проверки условий 2 порядка выписываем матрицу вторых производных в каждой точке стационарности.

По достаточному условию локального экстремума функции нескольких переменных точки х^*₁ = (1,1) и х^*₂ = (-1,-1) доставляют локальный минимум функции f. По следствию из теоремы Вейерштрасса абсолютный минимум в задаче должен достигаться. Значит, эти точки будут доставлять не только локальный, но и абсолютный минимум, f_min = -2.

Самостоятельно проверить точку х^*₃ = (0,0).

Решить самостоятельно следующие примеры:

1. Найти точки экстремума функции

f(x) = x₁² + x₂² на множестве R².

Ответ: в точке (0,0) имеется локальный и одновременно глобальный минимум.

2. 2) Найти точки экстремума функции

f(x) = - ( х₁ + 1)² – (х₂ + 4)²/16 на множестве R².

Ответ: в точке (-1,-4) – одновременно локальный и глобальный безусловный максимум.

Заключительная часть (5 мин). Преподаватель подводит итоги занятия. По результатам работы курсантов и проведенного опроса он определяет степень усвоения материала и оценивает работу обучающихся, дает задание на самоподготовку.