Введение

Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов бакалавриата специальности «Радиофизика», изучающих курс «Распространение электромагнитных волн» и студентов специальности «Радиофизика и электроника», изучающих курс «Физика волновых процессов». Также оно может быть использовано студентами специальности «Телекоммуникации» при изучении дисциплины «Электромагнитные поля и волны».

Предполагается, что читатель знаком с основами теории электромагнитных явлений по курсам общей и теоретической физики, а также владеет математическим аппаратом теории электромагнитного поля (векторный и тензорный анализ, теория дифференциальных уравнений). Краткий обзор основных соотношений классической электродинамики Максвелла содержится в главе 1. В последующих главах на их основе излагается теория распространения плоских монохроматических волн в линейных средах. В главах 2-5 рассмотрены волны в изотропных средах, включая особенности их поведения на границе раздела сред (глава 3 и ряд вопросов глав 4, 5). Материал глав 2-5 обязателен для изучения всеми студентами, поскольку он является теоретической базой для дальнейшего изучения спецкурсов прикладной направленности, а также выполнения работ радиофизического лабораторного практикума. Исключение составляют пп. 4.3, 4.4, 4.5 и 5.4, которые изучаются по требованию преподавателя или факультативно. В глава 6 анализируется распространение электромагнитных волн в анизотропных средах на примерах прозрачного кристалла, магнитоактивной плазмы и намагниченного феррита. Эта глава изучается выборочно, в соответствии с требованиями учебной программы изучаемой дисциплины.

В пособии использована Международная система единиц (СИ), которая является общепринятой в инженерно-технической литературе. Однако в научной литературе до сих пор широко используется гауссова система единиц, в которой многие соотношения электродинамики записываются несколько иначе. Это надо иметь в виду при работе с литературой.

1. Основные уравнения классической электродинамики

1.1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде

Основными уравнениями классической электродинамики являются уравнения Максвелла, которые вытекают из обобщения многочисленных экспериментальных данных. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме для электромагнитного поля в среде имеет следующий вид:

Все величины, входящие в эти уравнения, являются функциями координат (радиус-вектора r) и времени t. Характеристиками электромагнитного поля являются четыре векторные функции E, B, D и H. Напряжённость электрического поля Е и магнитная индукция В – силовые характеристики поля, определяющие силу F (сила Лоренца), с которой поле действует на внесённое в него заряженное тело:

где q – электрический заряд, v – скорость движения тела в данной системе отсчёта. Напряжённость электрического поля в СИ измеряется в Н/Кл или В/м, единица измерения магнитной индукции – тесла (Тл). Для определения электромагнитного поля в веществе дополнительно вводятся электрическая индукция (электрическое смещение) D и напряжённость магнитного поля H, связанные с векторами Е и В так называемыми материальными уравнениями (см. п. 1.2). В СИ электрическая индукция измеряется в Кл/м², а напряжённость магнитного поля – в А/м.

Объёмная плотность заряда ρ(r, t) и плотность тока j(r, t) характеризуют распределение в пространстве и времени источников электромагнитного поля – электрических зарядов и токов. Функция ρ(r, t) при непрерывном распределении заряда в пространстве определяется как

где dq – заряд в элементарном объёме пространства dV. Единица измерения объёмной плотности заряда − Кл/м³. Плотность тока j измеряется в А/м² и включает в себя:

- плотность токов проводимости ;

- плотность конвекционных токов , обусловленных движением макроскопических заряженных тел;

- плотность сторонних токов , связанных с силами неэлектромагнитной природы.

В технических задачах под сторонними токами обычно понимают любые токи, создаваемые внешними источниками и не зависящие от возбуждаемого ими поля. В таких задачах функция (r, t) обычно задана (известна заранее). Пример – расчёт полей, возбуждаемых антенной во внешнем пространстве при протекании по ней известного тока от внешнего источника.

Функции ρ(r, t) и j(r, t) в каждой точке пространства связаны между собой соотношением, известным как уравнение непрерывности:

Для выяснения физического смысла проинтегрируем обе части этого выражения по объёму пространства V, ограниченному замкнутой поверхностью S. Используя теорему Гаусса – Остроградского

находим:

где - заряд в объёме V, - сила тока, протекающего через поверхность S. Таким образом, заряд в объёме V может изменяться только при наличии тока I через поверхность S, т.е. за счёт того, что часть заряда пересекает эту поверхность. Следовательно, уравнение непрерывности и выражает закон сохранения электрического заряда.

Уточним физический смысл каждого из уравнений I – IV системы , а также перепишем их в интегральной форме.

Уравнение I выражает закон, по которому переменное магнитное поля порождает электрическое поле. Для получения его интегральной формы рассмотрим в пространстве произвольный замкнутый контур L, ограничивающий поверхность S. Проинтегрируем обе части уравнения I по поверхности S. С учётом теоремы Стокса

оно приобретает вид

где - поток вектора магнитной индукции B через поверхность S (магнитный поток). Соотношение является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея. Электрическое поле, порождаемое переменным магнитным полем, является вихревым: его силовые линии замкнуты, а циркуляция вектора Е по замкнутому контуру, согласно , отлична от нуля.

Аналогично получается интегральная форма уравнения II:

где - поток вектора электрической индукции D через поверхность S, I – сила тока, протекающего через ту же поверхность. Величину , характеризующую переменное электрическое поле, Максвелл назвал плотностью тока смещения, а величину − током смещения. Уравнение II указывает на два возможных источника магнитного поля: движение свободных электрических зарядов (электрический ток) и переменное электрическое поле (ток смещения), порождают магнитное поле. Интегральная форма является обобщением закона полного тока: циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему этот контур, где полный ток является суммой токов проводимости и смещения.

Уравнение III системы означает, что источниками электрического поля являются электрические заряды: точки, в которых плотность заряда ρ отлична от нуля, служат истоками и стоками линий вектора D. Для получения интегральной формы уравнения III проинтегрируем его правую и левую части по объёму V, ограниченному замкнутой поверхностью S. По теореме Гаусса – Остроградского имеем

и уравнение III принимает вид

где q – заряд в объёме V. Это – так называемая теорема Гаусса для электрического поля: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри поверхности.

Таким же образом уравнение IV приводится к виду

где – магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность. Физический смысл уравнения IV состоит в том, что линии вектора B замкнуты, т.е. магнитное поле не имеет источников (магнитные заряды в природе не обнаружены).