Вопрос 4 Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.

Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:\ то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Вопрос 5

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввестипсевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где   обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц   и  .

• где   обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента   .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений  , (b — ненулевой вектор) где   — искомый вектор, и если  существует, то  . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Вопрос 6      Ранг матрицы  Ранг матрицы - наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rank A. Базисный минор матрицы - любой отличный от нуля минор порядка r = rank A. Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица. Элементарными преобразованиями матрицы называют: 1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число; 2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число; 3) перестановку местами любых двух строк (столбцов). Вопрос 7

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

Вопрос 8 Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и оно единственно). При решении СЛАУ методом Крамера используется вычисление определителя или детерминанты основной матрицы. Для того, чтобы систему уравнение можно было решить методом Крамера, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее основной матрицы был отличен от нуля, тоесть матрица должна быть невырожденной.

Вопрос 9 Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица  . Умножим обе части матричного уравнения   слева на   (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем  . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как  , а по определению обратной матрицы   (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений по матричному методу определяется равенством  . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы  Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу   только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Сn НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

10.Системы однородных линейных уравнений.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i— свободными членами. Подлежат нахождению числа x_n.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

AX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

— вектор-столбец из неизвестных x_j.

— вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных  х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частнымрешением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

 Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как  x₁=x₂=x₃=...=x_n=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Вопрос №11.Комплексные числа. Сумма, произведение, частное, возведение в степень.

• Комплексным числом называется число вида z=a+bi , где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа z, число b называется мнимой частью комплексного числа z.

• a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: z=bi+a или переставить мнимую единицу: z=a+ib – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: z=a+bi

Действия над комплексными числами: Сложение и вычитание: По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел: (a₁ + b₁i ) + (a₂ + b₂i ) +...+ (a_n + b_ni ) = (a₁ + a₂ + ...+ a_n ) + (b₁+ b₂+...+ b_n ) i = a + bi Операция введена, так как получили элемент того же множества. Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a₁ + b₁i) – (a₂ + b₂i ) определяется из условия: (x + iy) + (a₂ + b₂i ) = (a₁ + b₁i) . Из правила сложения получаем: x + a2 = a1, y + b2 = b1. То есть x = a1 – a2, y = b1 – b2 и разность (a1 + b1i ) – (a2 + b2i ) = (a1 – a2 ) + (b1– b2) i. Умножение комплексных чисел: Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Правило умножения комплексных чисел в алгебраической форм: комплексные числа можно перемножать как многочлены. Если z = а + b i – комплексное число, то число называется сопряжённым с числом z. Его обозначают при помощи черты над числом , но следовательно, . Деление комплексных чисел: Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a₁ + b₁i ) на другое комплексное число (a₂ + b₂i ), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой. Возведение в степень комплексных чисел: Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или в показательной форме. Для возведения комплексного числа в степень нужно модуль возвысить в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени. Вопрос №12. Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные векторы. Вектор — величина, характеризующаяся размером и направлением, класс коллинеарно направленных отрезков, элемент векторного пространства. Вектор – это направленный отрезок прямой. То есть, в качестве вектора мы принимаем отрезок на плоскости или в пространстве, считая одну из его граничных точек началом, другую – концом. Для обозначения векторов будем использовать строчные латинские буквы со стрелочкой над ними, например. Если заданы граничные точки начала и конца отрезка, к примеру А и В, то вектор будем обозначать как. Длина вектора - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ. Длину вектора будем обозначать как . Так как обозначение длины вектора в точности совпадает со знаком модуля, то можно услышать, что длину вектора называют модулем вектора. Все же рекомендуем использовать термин "длина вектора". Длина нулевого вектора равна нулю. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называют неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых. Два коллинеарных вектора и называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначаются . Два коллинеарных вектора и называют противоположно направленными, если их направления противоположны и обозначаются . Угол называется углом между векторами и . Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю a · b = 0. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

13. Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба. Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.  Проекции точки на плоскости на оси координат, а точнее, их числовые значения, называются прямоугольными или декартовыми прямоугольными координатами точки на плоскости. Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.  Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью. Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. Расстояние r от точки до полюса называют полярным радиусом точки . Угол между полярной осью и радиусом называют полярным углом точки.  Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки на плоскости