31.Границя функції у точці, границя функції на нескінченності. Геометричний зміст. Однобічні границі.

Число А називається границею функції f(x) при х → +∞ (х → −∞),якщо для довільного малого числа ε > 0, знайдеться таке число Μ, що для всіх х > Μ (х < Μ) виконуватиметься нерівність <ε. Символічно це записують так:

Нехай функція y = f(x) визначена в деякому околі точки х0 (у самій точці х0 функція f(x) може не існувати).Число А називається границею функції f(x) у точці х0 (при х → х0),якщо для довільного малого ε > 0 існує таке число δ (ε) > 0, що для всіх x D(f), які задовольняють умову 0 < х − х0 < δ, виконується нерівність f(x) − A < ε. Записують це так:

, або f(x) → A при

Означення границі функції в точці х0 було дано незалежно від способу прямування змінної х до точки х0. Якщо х → х0 зліва (х < х0), і при цьому функція f(x) прямує до числа то число . називають лівосторонньою границею Аналогічно визначається правостороння границя . Лівостороння й правостороння границі називаються односторонніми границями.

32.Нескінченно малі і нескінченно великі функції, зв'язок між ними, властивості. Теореми про нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих функцій.

Послідовність х_п називається нескінченно малою, якщо lim x_n= 0.

Послідовність х_п називається нескінченно великою, якщо lim x_n=.

Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінчена мала послідовність.

Добуток нескінченно малої послідовності і обмеженої є нескінченно мала послідовність.

Якщо х_п нескінченно мала послідовність і x_n0, то послідовність y_n= є нескінченно великою. Якщо y_n нескінченно велика послідовність, то послідовність x_n= є нескінченно малою послідовністю.

Властивості н.м.ф.:

Сума і добуток скінченності і кількості н.м.ф.при хх₀ або х або х -, а також добуток і частка н.м.ф. на обмежено малу функцію є неск. Малими ф-ціями :

1)0+0+0+0+...+0=0

2)0*0*0*0*....*0=0

3)0*с=0

4)0/с=0

Властивості н.в.ф.

1)Сума н.в.ф. одного знака є н.в.ф. тогож знака; +=;

2)сума н.в.ф.й обмеженої функції є н.в.ф.; +с=;

3)добуток двох н.в.ф.є н.в.ф.;  *  = 

4)добуток н.в.ф. на фунцію, що має відміну від 0 гтаницю є н.в.ф.; *с=;

5)додатній степінь н.в.ф.є н.ав.ф.; ^= ;

6) частка від ділення обмеженої функції на н.в.ф.є н.м.ф.; .з цього випливає зв`язок між н.м.ф. ін.в.ф.