Вопрос 17

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу   из уравнения  , необходимо умножить это уравнение на   слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение   уравнения  , нужно найти обратную матрицу  и умножить ее на матрицу  , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если 

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Вопрос 18

Обратной матрице А, называется такая матрица В, что при умножении А на В в результате получается единичная матрица.

Для того чтобы найти обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы определитель исходной матрицы не равнялся нулю.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1). Найти определитель матрицы, если он не равен нулю, то

2). К каждому из элементов исх. Матрицы найти их алг. Дополнения

3). Сформировать из алг. Дополнений матрицу и домножить её на 1\det результатом будет являться обратная матрица.

Вопрос 19

Линейное (векторное) пространство — это матем. структура, формируемая векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Введённые операции подчинены восьми аксиомам. Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел.

Вопрос 19/20

Вопрос 21

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве. Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства.

Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. Независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы.

Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.

Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех

лин. независимых векторов системы пространства.

Вопрос 22

Вопрос 23

Вопрос 24

Вопрос 25

Вопрос 26

Условия однозначного опред. прямой:

1) Точка и направляющий вектор а=(l,m,n).

Канонич. уравнение прямой:

2) Пересечение плоскостей (коэффициенты не пропорциональны)

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Где а – направляющий вектор прямой, n – нормальный вектор к плоскости.

Вопрос 27

Скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

Вопрос 28

Вопрос 29

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Вопрос 30

Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой (величина fi угла равна pi/2). Система векторов называется ортогональной если все векторы образующие ее, попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормировинной если она ортогональная и длина каждого вектора равна единице. Формула

выражает разложение вектора а по ортогональному базису i,j,k