19 Билет.

1. Реализация численных методов состоит из двух этапов: 1) отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка; 2) уточнение приближенного значения корня.

1. Неустранимая погрешность. Она связана с тем, что параметрами математической модели служат обычно приближенные величины из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений. Для вычислителя погрешность математической модели следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

2. Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как к устранимой (или условной).

3. Вычислительная погрешность (погрешность действий). Этот тип погрешности обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники , вычислительная погрешность обусловлена округлениями.

Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Поскольку первый тип погрешностей не находится в пределах компетенции вычислителя, то для вычислителя он служит лишь ориентиром точности, с которой следует рассчитывать математическую модель. Таким образом, погрешность метода подчиняют погрешности задачи. Погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода. Влияние погрешностей округлений не следует упускать из вида ни на стадии отбора и алгоритмизации численных методов, ни при выборе вычислительных и программных средств, ни при выполнении отдельных действий и вычислении значений функций.

2. I(MS-DOS)= log2(N) = log2(256)=8 бит

I(UNICODE)= log2(N) = log2(65536)=16 бит

16 бит/ 8 бит= 2 раза (уменьшился)

20 Билет.

1. Постановка задачи Дано уравнение F(x)=0. Это общий вид нелинейного уравнения с одним неизвестным. Решить уравнение означает найти его корни, то есть такие значения аргумента x, которые при подстановке превращают уравнение в тождество. Далеко не все уравнения решаются аналитически. Например, квадратное уравнение типа ax^2 + bx + c = 0 легко решается аналитически и имеет два корня: x₁₂= (-b+[-]sqrt(b^2-4ac))/2a

В то же время уравнение типа ax^n + bx + c = 0 в общем случае не имеет аналитического решения. Еще сложнее обстоит дело с уравнениями типа e^ax + sinbx + x^n = 0 .

В общем случае, если нелинейное уравнение не решается аналитическими методами, целесообразно применение численных методов с использованием ПК. При использовании численных методов, как правило, алгоритм нахождения корня состоит из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня или отрезка на оси абсцисс, его содержащего.

2. Уточнение приближенного значения корня до некоторой точности.

На первом этапе применяется шаговый метод отделения корней, на втором – один из методов уточнения (метод половинного деления, метод Ньютона или метод простой итерации).

Шаговый метод:

Дано уравнение F(x)=0. Задан интервал поиска [x0,x1]. Требуется найти интервал изоляции корня [a,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Алгоритм метода:

1. Установить интервал [a,b] на начало интервала поиска (a=x0).

2. Определить координату точки b (b=a+h), а также значения функции в точках a и b: F(a) и F(b).

3. Проверить условие F(a)*F(b)<0. Если условие не выполнено, то передвинуть интервал [a,b] на один шаг (a=b) и перейти к пункту 2. Если условие выполнено, закончить алгоритм.

Решением являются координаты точек a и b. Отрезок [a,b] содержит корень уравнения, поскольку функция F(x) на его концах имеет разные знаки. Отыскав первый корень, можно продолжить поиск корней по тому же алгоритму. В этом случае определяются отрезки, содержащие все корни уравнения на интервале поиска [x0,x1]. Если на всем интервале поиска ни разу не было выполнено условие F(a)*F(b)<0, то данный интервал вообще не содержит корней.

Рассмотрим пример ручной реализации метода. Дано уравнение x^2 – 4x + 3 = 0 и интервал поиска корня [0;2]. Требуется отделить первый корень уравнения шаговым методом с шагом h=0,3. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода. Ответ: корень расположен на интервале [0,9;1,2]. Достоинство метода: простота алгоритма. Недостаток: для достижения большой точности требуется уменьшать шаг, а это может существенно увеличить время расчета.

2. A₂=101110,101₂ = 2^5+0+2^3+2^2+2^1+0+2^(-1)+0+1^(-3)=46,62510

A₈=125,46₈ =1*8^2+2*8^1+5*8^0+4*8^(-1)+6*8(-2)=85,59375

A₁₆=2AF,C4₁₆ = 2*16^2+10*16^1+15*16^0+12*16^(-1)+4*16^(-2)=687,76562510

0,847*2=1,694(1) |

0,694*2=1,388(1) |

0,488*2=0,776(0) |

0,776*2=1,552(1) |=>

0,847₁₀=0,1101₂