Фазовое пространство

Для описания состояния системы частиц вводится пространство шести измерений – фазовое пространство, называемое также -пространством: x, y, z, , , .

Первые три измерения явбяются координатами частицы, три последних – проекциями ее импульса р по осям координат. Состояние частицы (ее координаты и импульсы) изображаются точкой в -пространстве изображающие точки всех частиц системы. Но при этом нужно учесть корпускулярно-волновую двойственность свойств частиц.

Основываясь на соотношениях неопределенностей Гейзенберга в форме естественно считать, что данному состоянию частицы в -пространстве соответствует не точка, а ячейка фазового объёма размером . Элементарный объём не может быт меньше . При размещении частиц (точнее – их изображающих точек) по ячейкам с объёмом каждая в соответствии с прнцпом неразличимости тождественных частиц ставится вопрос о наиболее вероятном распределении частиц системы по ячейкам. При этом существенно число частиц в данной ячейке но не то, какие именно частицы данного сорта находятся в ячейке. Состояние системы тождественных частиц не изменяется от перестановки частиц как внутри данной ячейки, так и между ячейками. Для системы фермионов при этом должен быть учтен принцип Паули.

Если некоторый элементарный объём разбить на ячейки объемом , то отношение / = определяет число ячеек, или число квантовых состояний, содержащихся в объеме с энергией, заключенной в интервале от до . Частицы, число которых равно , находящиеся в объеме , могут рахличными способами распределиться между состояниями с энергией вблизи .

Критерий вырождения газа

Газ называется вырдожденным, если его свойства отличаются от свойств клоссического идеального газа.

В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц газа, обусловленное неразлчимостью тождественных частиц. Поведение фермионов и бозонов различно при вырождении.

Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А: А= . Функция распределения f с помощь. Параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется так: f= .

Если параметр вырождения мал А<<1, то и функция распределения превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана для классической статисики: f=A . Вобщем случае, когда газ находится во внешнем силовом поле, W= /(2m)+U(x,y,z), где U(x,y,z) – потенциальная энергия часицы в этом поле, анализ, приведенный выше, становится затруднительным.

Сравнительно легко можно грубо оценить температурный критерий вырождения газа. Дело в том, что вырождение обычных газов сказывается при низких температурах. Для фотонного и электронного газа в металлах это не справедливо. На оси термодинамических температур (см. рис. 1) существует некоторая температура вырождения , которая разделяет две области: вырожденного и невырожденного классического газа. Для грубой оценки используем формулу W энергии квантовой частицы, локализованой в некоторой области на длине а: W . Вместо длины а удобнее ввести концентрацию частиц. Из очевидного соотношения следует, что а= , и поэтому W .

Р ис.1.

Минимальной энергии вырожденной частицы, расположенной слева на оси рис1, соответствует знак равенства в предыдущей формуле. Справа от температуры вырождения на рис1 расположена область классического невырожденного газа, у которого энергя частиц

равна 3/2kT. На границе двух областей рис1 =3/2k . Из этой формулы вычислим температуру вырождения: = . Полученная формула отличается числовым коэффициентом от строгой формулы, вытекающей из анализа поведения параметра вырождения. В строгой формуле вместо коэффициента 1/3 стоят коэффициенты, различные для Бозе- и Ферми-газов.