9. Среднее значение альтернативного признака.

Альтернативным называется признак, который присутствует у одних единиц совокупности и отсутствует других (по принципу «да-нет», «+ и – »).

Обычно при проведении наблюдения фиксируется число (доля = р) единицы совокупности, обладающее признаком, и число (доля = q) единицы совокупности, у которых признак отсутствует, тогда пусть:

X = {1, если зафиксировано наличие признака у единицы совокупности }и {0, если признак отсутствует}.

При этом р + q = 1 – образуют полную группу событий и определяется среднее значение альтернативного признака:

X_ср=(∑X_if_i)/ ∑f_i X_ср=(1*р + 0*q)(р + q) = р

Принцип мажорантности средних:

X_гарм< X_геом < X_ариф < X_квад

10. Структурные средние. Основные виды. Порядок определения. Область применения

Используются две категории средних величин:

- степенные средние;

- структурные средние (мода, медиан, квартиль, дециль).

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности.

Медиана – соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Квартиль (четверть):

Первая квартиль показывает значение признака, которое не превышено для 25% (частот) объема ряда.

Третья квартиль показывает значение признака, которое не превышено для 75% (частот) объема ряда.

Квартильный коэффициент дифференциации значений признака определяется как отношение 3-ей квартили к 1-ой.

Дециль (десятая часть):

Первая дециль показывает значение признака, которое не превышено для 10% (частот) объема ряда.

Девятая дециль показывает значение признака, которое не превышено для 90% (частот) объема ряда.

Алгоритм поиска медианы в вариационных рядах:

Для дискретных рядов с нечетным количеством членов n = (m +1) номер медианного варианта

N_me = (m +1)/2, тогда X =Ме= X_ме или X_м+1.

Для дискретных рядов с четным количеством членов n = 2m, медиана определяется как полусумма вариантов, стоящих в центре ранжированного ряда X =Ме= (X_м + X_м+1)/2_.

Для непрерывных (интервальных) рядов медиана определяется по следующему алгоритму:

1 шаг. Закрытие «открытых» интервалов по ширине смежных с ними.

2 шаг. Определение медианного интервала, то есть такого, в котором кумулятивная частота равна или впервые превышает полусумму всех частот ряда S_ме≥n/2.

3 шаг. Расчет значения медианы путем линейной интерполяции внутри интервала ( линейная функция).

Ме = X_н.г. + h *((∑f_i/2 – F_ме-1)/ f_ме

X_н.г - нижняя граница медианного интервала

h - шаг интервала

F_ме-1 – накопительная частота предмедианного интервала

f_ме – частота медианного интервала

11. Абсолютные и относительные показатели вариации.

Вариация – это количественное изменение значений признака у единиц совокупности.

Показатели вариации характеризуют изменчивость значения признака.

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.

Классификация показателей вариации

Наименование показателя	Формула расчет	Применение
1. Абсолютные показатели вариации значений признаков
Размах вариации
Линейное отклонение – средний модуль отклонений индивидуальных значений признака от средней в расчете на единицу совокупности		Формула среднего линейного отклонения (простая) Формула среднего линейного отклонения (взвешенная)
Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней в расчете совокупности под влиянием различных факторов.	σ2 = р*q σ2 = h2* σ	Формулы дисперсии взвешенной и простой Расчет дисперсии для альтернативного признака Для равноинтервальных рядов
Среднее квадратическое отклонение		Средняя квадратическая простая Средняя квадратическая взвешенная
2. Относительные показатели вариации значений признаков
Коэффициент вариации (ν) – отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака	ν = σ /Xср	(ν) ≤ 33,3% - совокупность считается однородной в отношении изучаемого признака > 33% - неоднородная
Среднее линейное отклонение – отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака	Lср = L/Xср (%)
Коэффициент осцилляции - отношение размаха вариации к средней величине признака	ν = Rmax/Xср (%)

12. Методы расчета дисперсии. Основы дисперсионного анализа. Правило сложения дисперсий. Понятие о внутригрупповой и межгрупповой вариации. Коэффициент детерминации. Эмпирическое корреляционное отношение

Различают три вида дисперсий:

- общая;

- средняя внутригрупповая;

- межгрупповая.

Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

σ² = (∑(X_i – X_ср)²) f_i / ∑f_i (для сгруппированных данных)

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

σ² = (∑(X_i – X_ср)²)/ n (для несгруппированных данных)

σ²_{j y} - средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (σ²), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия σ²_ср:

1. σ² = (∑(X_i – X_ср)²) / n

2. σ²_ср = (∑σ²_i n_i)/ ∑ n_i

где n_i - число единиц в группе

δ² – межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.

δ² = (∑(X_{i ср} – X _{общ ср})²) f_i / ∑f_i

Для аналитических группировок, которые строятся для целей анализа наличия взаимосвязи между результативным и факторным признаками, дисперсия результативного признака при паркой зависимости может быть представлена следующим образом:

Правило сложения дисперсий:

σ²_общ = σ²_ср + δ²

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Эмпирический коэффициент детерминации:

η² = δ² / σ²_общ

Коэффициент детерминации – доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение:

η = (δ² / σ²_общ)^1/2

η² – показывает какую часть вариации объясняет выбранный группировочный (факторный) признак.

η – характеризует взаимосвязь между значениями признака и группировочным фактором.

13. Выборочный метод наблюдения. Понятие. Особенности. Виды выборок. Расчет ошибок выборки (стандартной и предельной). Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность. Доверительная вероятность, коэффициент доверия, доверительный интервал. Особенности малой выборки

Выборочный метод наблюдения – это вид несплошного наблюдения, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора.

В выборку включаются обычно 5-10% единицы совокупности, реже 15-20%. Совокупность, из которой делается отбор называется генеральной совокупностью, а часть объектов из генеральной совокупности – выборочная совокупность.

Преимущества выборочного метода наблюдения:

- дешевизна;

- короткие сроки проведения;

- повышение оперативности статистической информации;

- снижение ошибок регистрации.

Особенности выборочного метода:

В основе отбора единиц совокупности для обследования лежит принцип разных возможностей попадания в выборку любой единицы генеральной совокупности.

Это позволяет:

1. использовать образование выборки только за счет лучших или худших образцов.

2. предупредить появление систематических ошибок.

3. создать возможность количественной оценки ошибки представительности (репрезентативности).

Содержание методологии выборочного метода:

- способ определения ошибки выборки при различных приемах формирования выборочной совокупности (под ошибкой выборки понимается объективно возникающее расхождение между выборочными и генеральными характеристиками);

- распространение характеристик выборки генеральной совокупности.

Область применения:

- контроль качества продукции;

- проверка данных сложного наблюдения;

- в социальной статистике (бюджет семьи, принадлежность к соц. группам)

В статистике приняты следующие условные обозначения:

N - объем генеральной совокупности;

n - объем выборочной совокупности;

X _cр - средняя в генеральной совокупности;

X˜ - средняя в выборочной совокупности;

р - доля единиц в генеральной совокупности;

w - доля единиц в выборочной совокупности;

σ²- генеральная дисперсия;

S² - выборочная дисперсия;

σ - среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности;

S - среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.

Возможные расхождения между выборочными и генеральными характеристиками оцениваются с помощью средней ошибки выбора μ.

Классификация видов выборочного наблюдения:

Классификационный признак	Виды выборки
Характер отбора единиц (групп единиц) из генеральной совокупности	-индивидуальная -групповая -комбинированная
Правила организации (формирования) выборки и зависимости от организации генеральной совокупности	-собственно-случайная -механическая -типическая -серийная (гнездовая) -комбинированная -местные наблюдения
Сбор и отбор	-повторный -бесповторный

Виды ошибок выборочного наблюдения:

Показатель	Повторная выборка	Бесповторная
1.Средняя ошибка выборки: - для признака -для доли признака	μx = (σ2/ n)1/2 μw =((w (1- w))/ n)1/2	μx =( (σ2/ n)*(1- n/ N))1/2 μw =(((w (1- w))/ n) *(1- n/ N))1/2
2. Предельная ошибка выборки	∆ =± t* μ где t – это коэффициент доверия, который берется их таблицы значений функции Лапласа. Р – доверительная вероятность (из таблицы)
3. Объем выборки: - для признака -для доли признака	n = (σ2* t2)/ ∆2 n = ((w (1- w)) * t2)/ ∆2	n = (σ2* t2* N)/( ∆2* N + σ2* t2) n = ((w (1- w) * t2* N)/ ( ∆2* N + (w (1- w) * t2)
4. Взаимосвязь абсолютных и относительных показателей	∆отн = ∆абс/Xср σотн = σабс / Xср

Под малой выборкой понимается такое несплошное наблюдение, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности.

4-5 единиц ≤ n ≤ 30 единиц

μ _М.В. = (σ²_м.в./ n – 1)^1/2

σ² _М.В. – дисперсия малой выборки

σ² _М.В. = (∑(X_i – X_ср)²) / n

Предельная ошибка малой выборки связана со средней ошибкой следующим образом:

∆_М.В. =± t* μ _М.В.

X˜ - ∆_М.В ≤ X _cр ≤ X˜+ ∆_М.В

w - ∆_М.В ≤ р ≤ w + ∆_М.В