, , То есть

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения: 

Величину   называют собственной частотой системы,   — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену  , получают характеристическое уравнение

Корни которого вычисляются по следующей формуле

Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

      Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e  раз. Тогда

                    ;               ;

 .

Логарифмический декремент затухания	]
Обозначение	Описание
	Амплитуда (колебаний), размерность в СИ - м
	Период, размерность в СИ - c
	Время (произвольное), размерность в СИ - с
	Коэффициент затухания, размерность в СИ - с-1

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

•  — резонансная частота колебаний

•  — энергия, запасённая в колебательной системе

•  — рассеиваемая мощность.

• Для Колебательного контура в RLC цепях:

• ,

34. Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде:  . Если ввести обозначения:   и заменитьускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

,

где   — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида:   и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

основное уравнение колебательного процесса, и

      где f_x = F_x/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

35. Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:

,

где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).

Явления резонанса положены в основу -радиопередающих и приёмных устройств,микроволновок, гитара акустическая - тоже использует явление резонанса (механического)....да дофига всего интересного на этом принципе работает.

36. В твердых телах могут распространяться как продольные (со скоростью Vl), так и поперечные (со скоростью Vt) упругие волны. В изотропных твердых телах скорости волн определяются модулями Юнга Е (Т. Юнг /1773 – 1829/ - английский физик), сдвига G , коэффициентом Пуассона v (С.Д. Пуассон /1781 – 1840/ - французский физик и математик):

Vl = [E(1-v)/r(1+n)(1-2n)]^1/2 ; Vt = (G/r)^1/2              (2.27)

    При взрывах, движении тел в воздухе со сверхзвуковыми скоростями возникают ударные волны. Ударной волной называется распространение в газообразной, жидкой или твердой средах поверхности, на которой происходит скачкообразное повышение давления, сопровождаемое изменением плотности, температуры и скорости движения среды. Эта поверхность называется поверхностью разрыва. Скорость распространения ударной волны относительно невозмущенной среды больше скорости звука этой среде: Vуд.вол. = Vвозд.[r/(r-rп)], где r и rп – плотности воздуха за фронтом и перед фронтом ударной волны.

Продольные волны ─ распространяющееся с конечной скоростью в пространстве переменное взаимодействие материи, которое обычно характеризуется двумя функциями ─ векторной, направленной вдоль потока энергии волны, и скалярной функцией. В упругих волнах (звуковых волнах) векторная функция описывает колебания скорости движения элементов среды распространения волны. В зависимости от вида продольных волн и среды их распространения, скалярная функция описывает разного рода изменения в среде или в поле, например, плотность вещества.

ПОПЕРЕЧНАЯ ВОЛНА - волна, у к-рой характеризующая её векторная величина лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (для гармонич. волн - волновому вектору  ). К П. в. относят, напр., волны в струнах или упругих мембранах, когда смещения частиц в них происходят строго перпендикулярно направлению распространения волн, а также плоские однородные эл--магн. волны в изотропном диэлектрике или магнетике; в этом случае поперечные колебания совершают векторы электрич. и магн. полей.

• длина волны: 

где h — постоянная Планка.

ФРОНТ ВОЛНЫ - поверхность, окружающая источник колебаний, все точки которой имеют одинаковые фазы колебаний. Фронт волны может быть сферой (сферическая волна) или иметь более сложную форму. Направление распространения волны - нормаль к фронту волны.

37. Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть

 для одномерного случая

или   для размерности, большей единицы.

Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектромДля одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:

,

где   — угловая частота,   — волновое число.

Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору  :

или (для трехмерного пространства):